圆锥曲线的方程（十三）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）.docxVIP

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三

知识点一双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题

典例1、已知双曲线的方程为.

（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；

（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.

随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线

与直线平行.

（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.

典例2、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．

（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．

随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的

右焦点到的渐近线的距离为．

（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．

典例3、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，

且，．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与

点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.

（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；

（2）曲线上一点P，点A?B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

知识点二抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题

典例4、已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.

（1）求抛物线T的方程；

（2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.

随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N

（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．

（1）求C的方程；

（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．

典例5、已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．

（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；

（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．

随堂练习：已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案

典例1、答案：（1）；（2），证明见解析.

解：（1）直线与双曲线即

联立得即

由题意得有两个同号根，则满足即，即

解得：

双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为

则，所以的中点

又因为点在双曲线上，即即，即.

随堂练习：答案：（1）（2）是，2

解：（1）设双曲线的焦距为，

由题意可得：，则，则双曲线的方程为.

（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，

设直线的方程为，则，消得：，

则，可得：①

设与轴交点为，则，

∵双曲线两条渐近线方程为：，

联立，解得，即，同理可得：，

则（定值）.

典例2、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为（2）

解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线，

所以可设双曲线C的方程为，

代入，得，得，故双曲线C的方程为，

所以，，，故离心率，渐近线方程为．

（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，

整理得，．

设，，则AB的中点坐标为，

由根与系数的关系得，，，

所以AB的中点坐标为，

又点在圆上，所以，所以．

随堂练习：答案：（1），（2）

解：（1）由题意可得，则．因为的渐近线方程为，即，

椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，

故椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）设直线的倾斜角为，所以，直线的斜率为，

所以直线的方程为，联立得，则，

设、，则，，所以,

联立可得，，

设点、，则，，

所以，，故．

典例3、答案：（1）；（2）.

解:（1）由已知，，，，

∵，则，∴，∴，

解得，，∴双曲线的方程为．

（2）直线l的斜率存在且不为