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思想04运用转化与化归的思想方法解题
【目录】
TOC\o1-3\h\z\u 1
2
2
3
考点一:运用“熟悉化原则”转化化归问题 3
考点二:运用“简单化原则”转化化归问题 4
考点三:运用“直观化原则”转化化归问题 6
考点四:运用“正难则反原则”转化化归问题 7
高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等.
将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则:
1、熟悉化原则:许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决.在具体的解题过程中,通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来,使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题.
2、简单化原则:根据问题的特点转化命题,使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题.借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法,从而实现通过对简单问题的解答,达到解决复杂问题的目的.
3、直观化原则:将较抽象的问题转化为比较直观的问题,数学问题的特点之一便是它具有抽象性,有些抽象的问题,直接分析解决难度较大,需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决.
4、正难则反原则:问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.一般地,在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中,若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,此时从反面考虑较简单.
1.(2023·全国·统考高考真题)已知实数满足,则的最大值是(????)
A. B.4 C. D.7
2.(2023·全国·统考高考真题)在中,内角的对边分别是,若,且,则(????)
A. B. C. D.
3.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.记,则(????)
A. B. C. D.
4.(2023·全国·统考高考真题)在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,,则该棱锥的体积为(????)
A.1 B. C.2 D.3
5.(2023·全国·统考高考真题)在正方体中,为的中点,若该正方体的棱与球的球面有公共点,则球的半径的取值范围是.
6.(2023·全国·统考高考真题)在中,,的角平分线交BC于D,则.
7.(2023·北京·统考高考真题)已知椭圆的离心率为,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是的左、右顶点,.
(1)求的方程;
(2)设为第一象限内E上的动点,直线与直线交于点,直线与直线交于点.求证:.
8.(2023·全国·统考高考真题)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,求面积.
考点一:运用“熟悉化原则”转化化归问题
【例1】(2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在三角函数部分,我们研究过二倍角公式,我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根据你的研究结果解决如下问题:在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的取值范围是.
【变式1-1】(2024·辽宁·高三校联考期末)抚仙湖,位于澄江市、江川区、华宁县之间,湖面积仅次于滇池和洱海,为云南省第三大湖,也是我国最大的深水型淡水湖泊.如图所示,为了测量抚仙湖畔M,N两点之间的距离,现取两点E,F,测得公里,,,,则M,N两点之间的距离为公里.
??
【变式1-2】(2024·浙江宁波·高三余姚中学校考阶段练习)在锐角三角形中,内角所对的边满足,若存在最大值,则实数的取值范围是.
【变式1-3】(2024·江西·高三校联考开学考试)已知中,,,则面积的最大值是.
考点二:运用“简单化原则”转化化归问题
【例2】(2024·北京顺义·高三统考期末)《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”,平面,,为底面及其内部的一个动点且满足,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【变式2-1】(2024·上海普陀·统考一模)一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于(????).
A. B. C
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