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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
思维拓展05嵌套函数的零点问题(精讲+精练)
一、嵌套函数形式:形如
二、解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.
(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
注:抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.
【典例1】(单选题)(23-24高二下·云南·阶段练习)设,函数,若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】令,先考虑时,函数在上有2个零点,再考虑,分与两种情况,结合函数图象,得到不等式,求出答案.
【详解】设,当时,,此时,
由得,即,解得或,
所以在上有2个零点,
时,若,对称轴为,
函数的大致图象如下:
此时,即,则,
所以无解,则无零点,无零点,
综上,此时只有两个零点,不符合题意,
若,此时的大致图象如下:
令,解得,
显然令在上存在唯一负解,
要使恰有3个零点,
只需在上除或外不能再有其他解,
即不能再有除或外的其他解,
故,即,解得,
所以.
故选:D
【点睛】思路点睛:复合函数零点个数问题处理思路:①利用换元思想,设出内层函数;②分别作出内层函数与外层函数的图象,分别探讨内外函数的零点个数或范围;③内外层函数相结合确定函数交点个数,即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1.(2024·辽宁·一模)已知函数,若关于的方程有五个不等的实数解,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先判断函数在各段的单调性,即可得到的大致图象,令,则化为,分、、、、、六种情况讨论,结合函数图象即可得解.
【详解】由,
当时,函数在上单调递减,且,,当时,
当时,则,
所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,且,
可得的大致图象如下所示:
令,则化为,
当时无解,则无解;
当时,解得,由图可知有两解,即有两解;
当时有一解且,又有一个解,即有一解;
当时有两个解,即、,
又有一个解,有两个解,所以共有三个解;
当时有三个解,即,,,
无解,有三个解,有两个解,
所以共有五个解;
当时有两个解,即,,
有三个解,有两个解,
所以共有五个解;
综上可得的取值范围是.
故选:C
【点睛】关键点睛:本题解答的关键是数形结合,另外分类讨论需做到不重不漏.
2.(22-23高一上·上海·期末)已知,则方程的实数根个数不可能为(????)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【答案】A
【分析】作出的图象,令,由对勾函数的性质作出的图象,再对分类讨论,将问题转化为关于的方程(具体到每种类型时为常数)的解的个数问题.
【详解】因为,
当时,则在上单调递增,在上单调递减,
又,,,
当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
且,,,,,
作出的图象,如图所示:
令,由对勾函数的性质可知在,上单调递减,
在,上单调递增,且,,则的图象如下所示:
①当时,令或,
则关于的方程有两个实数解,关于的方程的方程也有两个实数解,
即此时对应的个数为,(以下处理方法类似);
②当时,令或或,此时对应的个数为6;
③当时,
令或或或,
此时对应的个数为;
④当时,或或或,此时对应的个数为;
⑤当时,或或,此时对应的个数为;
⑥当时,或,此时对应的个数为3;
⑦当时,,此时对应的个数为2.
综上可知,实数根个数不可能为5个.
故选:A
【点睛】关键点点睛:本题关键是作出的图象,再对分类讨论,将问题转化为关于的方程(具体到每种类型时为常数)的根的问题.
3.(23-24高一下·湖南长沙·开学考试)已知函数,若函数与函数的零点相同,则的取值可能是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设函数的零点为,由可得出,可求出的值,可得出,进而可得出,由此可知,方程无解或方程与方程的解相同,可得出或,可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.
【详解】设的零点为,则,
又,故,即,解得,
所以,,
所以,
因为函数与函数的零点相同,
所以方程无解或方程与方程的解相同,
若方程无解,则,解得,
若方程与方程的解相同,
等式与等式作差可得.
综上所述,,则,所以,
故选:A.
【点睛】关键点点睛:本题考查依据方程的根求参数的取值范围,解题的关键在于利用函数的零点的定义得出,求出的值,进而化简函数的解析式,结合二次函数的零点问题求解.
4.(23-24高一上·湖南永州·期末)已知函数,若方程有5个不同的实数解,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式,结合指对数函数性质画出函数大致图象,令并讨论判断对应
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