思维拓展05 嵌套函数的零点问题（精讲 精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

思维拓展05嵌套函数的零点问题（精讲+精练）

一、嵌套函数形式：形如

二、解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．

(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．

注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，先考虑时，函数在上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案.

【详解】设，当时，，此时，

由得，即，解得或，

所以在上有2个零点，

时，若，对称轴为，

函数的大致图象如下：

此时，即，则，

所以无解，则无零点，无零点，

综上，此时只有两个零点，不符合题意，

若，此时的大致图象如下：

令，解得，

显然令在上存在唯一负解，

要使恰有3个零点，

只需在上除或外不能再有其他解，

即不能再有除或外的其他解，

故，即，解得，

所以.

故选：D

【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解.

【详解】由，

当时，函数在上单调递减，且，，当时，

当时，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

可得的大致图象如下所示：

令，则化为，

当时无解，则无解；

当时，解得，由图可知有两解，即有两解；

当时有一解且，又有一个解，即有一解；

当时有两个解，即、，

又有一个解，有两个解，所以共有三个解；

当时有三个解，即，，，

无解，有三个解，有两个解，

所以共有五个解；

当时有两个解，即，，

有三个解，有两个解，

所以共有五个解；

综上可得的取值范围是.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.

2．（22-23高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（????）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【答案】A

【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题.

【详解】因为，

当时，则在上单调递增，在上单调递减，

又，，，

当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

且，，，，，

作出的图象，如图所示：

令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减，

在，上单调递增，且，，则的图象如下所示：

①当时，令或，

则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解，

即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）；

②当时，令或或，此时对应的个数为6；

③当时，

令或或或，

此时对应的个数为；

④当时，或或或，此时对应的个数为；

⑤当时，或或，此时对应的个数为；

⑥当时，或，此时对应的个数为3；

⑦当时，，此时对应的个数为2.

综上可知，实数根个数不可能为5个.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题.

3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设函数的零点为，由可得出，可求出的值，可得出，进而可得出，由此可知，方程无解或方程与方程的解相同，可得出或，可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.

【详解】设的零点为，则，

又，故，即，解得，

所以，，

所以，

因为函数与函数的零点相同，

所以方程无解或方程与方程的解相同，

若方程无解，则，解得，

若方程与方程的解相同，

等式与等式作差可得.

综上所述，，则，所以，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查依据方程的根求参数的取值范围，解题的关键在于利用函数的零点的定义得出，求出的值，进而化简函数的解析式，结合二次函数的零点问题求解.

4．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式，结合指对数函数性质画出函数大致图象，令并讨论判断对应