思维拓展05 嵌套函数的零点问题(精讲 精练)-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版.docxVIP

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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)

思维拓展05嵌套函数的零点问题(精讲+精练)

一、嵌套函数形式:形如

二、解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.

(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

注:抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.

【典例1】(单选题)(23-24高二下·云南·阶段练习)设,函数,若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】令,先考虑时,函数在上有2个零点,再考虑,分与两种情况,结合函数图象,得到不等式,求出答案.

【详解】设,当时,,此时,

由得,即,解得或,

所以在上有2个零点,

时,若,对称轴为,

函数的大致图象如下:

此时,即,则,

所以无解,则无零点,无零点,

综上,此时只有两个零点,不符合题意,

若,此时的大致图象如下:

令,解得,

显然令在上存在唯一负解,

要使恰有3个零点,

只需在上除或外不能再有其他解,

即不能再有除或外的其他解,

故,即,解得,

所以.

故选:D

【点睛】思路点睛:复合函数零点个数问题处理思路:①利用换元思想,设出内层函数;②分别作出内层函数与外层函数的图象,分别探讨内外函数的零点个数或范围;③内外层函数相结合确定函数交点个数,即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1.(2024·辽宁·一模)已知函数,若关于的方程有五个不等的实数解,则的取值范围是(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】首先判断函数在各段的单调性,即可得到的大致图象,令,则化为,分、、、、、六种情况讨论,结合函数图象即可得解.

【详解】由,

当时,函数在上单调递减,且,,当时,

当时,则,

所以当时,当时,

所以在上单调递减,在上单调递增,且,

可得的大致图象如下所示:

令,则化为,

当时无解,则无解;

当时,解得,由图可知有两解,即有两解;

当时有一解且,又有一个解,即有一解;

当时有两个解,即、,

又有一个解,有两个解,所以共有三个解;

当时有三个解,即,,,

无解,有三个解,有两个解,

所以共有五个解;

当时有两个解,即,,

有三个解,有两个解,

所以共有五个解;

综上可得的取值范围是.

故选:C

【点睛】关键点睛:本题解答的关键是数形结合,另外分类讨论需做到不重不漏.

2.(22-23高一上·上海·期末)已知,则方程的实数根个数不可能为(????)

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

【答案】A

【分析】作出的图象,令,由对勾函数的性质作出的图象,再对分类讨论,将问题转化为关于的方程(具体到每种类型时为常数)的解的个数问题.

【详解】因为,

当时,则在上单调递增,在上单调递减,

又,,,

当时,

所以在上单调递增,在上单调递减,

且,,,,,

作出的图象,如图所示:

令,由对勾函数的性质可知在,上单调递减,

在,上单调递增,且,,则的图象如下所示:

①当时,令或,

则关于的方程有两个实数解,关于的方程的方程也有两个实数解,

即此时对应的个数为,(以下处理方法类似);

②当时,令或或,此时对应的个数为6;

③当时,

令或或或,

此时对应的个数为;

④当时,或或或,此时对应的个数为;

⑤当时,或或,此时对应的个数为;

⑥当时,或,此时对应的个数为3;

⑦当时,,此时对应的个数为2.

综上可知,实数根个数不可能为5个.

故选:A

【点睛】关键点点睛:本题关键是作出的图象,再对分类讨论,将问题转化为关于的方程(具体到每种类型时为常数)的根的问题.

3.(23-24高一下·湖南长沙·开学考试)已知函数,若函数与函数的零点相同,则的取值可能是(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】设函数的零点为,由可得出,可求出的值,可得出,进而可得出,由此可知,方程无解或方程与方程的解相同,可得出或,可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.

【详解】设的零点为,则,

又,故,即,解得,

所以,,

所以,

因为函数与函数的零点相同,

所以方程无解或方程与方程的解相同,

若方程无解,则,解得,

若方程与方程的解相同,

等式与等式作差可得.

综上所述,,则,所以,

故选:A.

【点睛】关键点点睛:本题考查依据方程的根求参数的取值范围,解题的关键在于利用函数的零点的定义得出,求出的值,进而化简函数的解析式,结合二次函数的零点问题求解.

4.(23-24高一上·湖南永州·期末)已知函数,若方程有5个不同的实数解,则的取值范围是(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式,结合指对数函数性质画出函数大致图象,令并讨论判断对应

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