押北京卷 第10题 空间几何体的结构 （解析版）.docxVIP

押北京卷10题

空间几何体结构

核心考点

考情统计

考向预测

备考策略

棱长

2023·北京卷T9

可以预测2024年新高考命题方向将继续以表面积体积问题与数学文化，生活生产等问题展开命题．

空间几何体以客观题形式呈现，难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查棱锥的体积问题，圆锥的母线长问题，球体的内切外接及表面积体积问题，棱台的体积问题。

面积

2022·北京卷T9

实际应用

2021·北京卷T8

1．（2023·北京卷T9）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，

??

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，

所以.

因为平面，平面，所以，

因为，平面，，

所以平面，因为平面，所以，.

同理：，又，故四边形是矩形，

所以由得，所以，所以，

所以在直角三角形中，

在直角三角形中，，，

又因为，

所有棱长之和为，故选C

2．（2022·北京卷T9）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，

且，故.

因为，故，

故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为，半径为，

故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为

故选：B

3．（2021·北京卷T8）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

??

等级

24h降雨量（精确到0.1）

……

……

小雨

0.1~9.9

中雨

10.0~24.9

大雨

25.0~49.9

暴雨

50.0~99.9

……

……

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

【答案】B

【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨，故选B.

立体几何基础公式

所有椎体体积公式：

所有柱体体积公式：

球体体积公式：

球体表面积公式：

圆柱：

圆锥：

长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式

已知长宽高求体对角线：

已知共点三面对角线求体对角线：

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

4.求解几何体表面积的类型及方法

（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积；

（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系；

（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

5.求空间几何体体积的常用方法

（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；

（3）等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

1．已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，

??

所以棱台的斜高为.

故选：C

2．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，

正方体的体对角线长为

所以，此时圆柱的底面半径为，高为，

所以该圆柱体积的最小值为.

故选：B.

3．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南