押上海高考17题（三角函数、立体几何)解析版.docxVIP

押上海高考17题

三角函数、立体几何

考点

4年考题

考情分析

三角函数

2024年春考

三角函数周期性

立体几何

2020年~2023年

近四年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线线、线面、面面所成的角

一．三角函数的周期性（共1小题）

1．（2024?上海）已知，．

（1）设，求解：，，的值域；

（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．

【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．

（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出的取值范围．

【解答】解：（1）当时，．

因为，，所以令，

根据在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的最大值为，最小值为．

因此函数的值域为，．

（2）由题知，所以，．

当时，，即．

当时，，所以，即．

因此，的取值范围为，．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）

2．（2020?上海）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．

（1）若，求四棱锥的体积；

（2）若直线与的夹角为，求的长．

【分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．

（2）由已知中四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面．异面直线与所成角为，可得为直角三角形，且，，代入求出后，解直角可得答案．

【解答】解：（1）平面，．

，，，

，

所以四棱锥的体积为12．

（2）是正方形，平面，

，

又

平面

异面直线与所成角为，

在中，，

故

在中，

【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．

3．（2022?上海）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．

（1）求三棱锥体积；

（2）若为中点，求与面所成角大小．

【分析】（1）直接利用体积公式求解；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解．

【解答】解：（1）在三棱锥中，因为底面，所以，

又为边中点，所以为等腰三角形，

又．所以是边长为2的为等边三角形，

，三棱锥体积，

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，，，

，，，

平面的法向量，0，，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值为，

所以与面所成角大小为．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

三．直线与平面所成的角（共4小题）

4．（2021?上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．

（1）若为等边三角形，求四棱锥的体积；

（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．

【分析】（1）由，代入相应数据，进行运算，即可；

（2）由平面，知，进而有，，由，知或其补角即为所求，可证平面，从而有，最后在中，由，得解．

【解答】解：（1）为等边三角形，且为中点，，

，

又平面，

四棱锥的体积．

（2）平面，

为与平面所成角为，即，

为等腰直角三角形，

，分别为，的中点，

，

，

，

或其补角即为与所成角，

平面，，

又，，、平面，

平面，，

在中，，

故与所成角的大小为．

【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

5．（2020?上海）已知是边长为1的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱．

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形绕逆时针旋转至，求线段与平面所成的角．

【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；

（2）先利用线面垂直的判定定理证明平面，连接，则即为线段与平面所成的角，再利用三角函数的知识求出即可．

【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为、宽为1的矩形组成，

．

故该圆柱的表面积为．

（2）正方形，，

又，，

，且、平面，

平面，即在面上的投影为，

连接，则即为线段与平面所成的角，

而，

线段与平面所成的角为．

【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．

6．（2022?上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．

（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．

【解答】解：（1）因为为圆柱的母线，所以垂直于上底面，

所以是直