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专题10换底公式

【知识回顾】

换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．

特别地，logab·logba＝1，logba＝

【典例应用】

【例1】计算：log1627log8132.

1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．

【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.

2．(1)已知log142＝a，试用a表示logeq\r(2)7.

(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.

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【等级过关练】

1．思考辨析

(1)logab＝eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lnb,lna).()

(2)log52＝eq\f(log?－3?2,log?－3?5).()

(3)logab·logbc＝logac．()

2．若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于()

A.eq\f(b,a)B．eq\f(a,b)C．ab D．ba

3．式子log916·log881的值为()

A．18B．eq\f(1,18)C.eq\f(8,3) D．eq\f(3,8)

4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为()

A．a－bB．eq\f(a,b)C．ab D．a＋b

5.eq\f(log49,log43)的值为()

A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(3,2) D．eq\f(9,2)

6．log332·log227＝________.

7．设2a＝3b＝6，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.

8．若log32＝a，则log123可以用a表示为________．

9．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.

10．求下列各式的值：

(1)log427·log258·log95；(2)log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9).

专题10换底公式

【知识回顾】

换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．

特别地，logab·logba＝1，logba＝

【典例应用】

【例1】计算：log1627log8132.

[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．

[解]log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)·eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)·eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)·eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16).

1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．

2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；

loganbm＝eq\f(m,n)logab.

1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．

[解]原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))

＝eq\f(5lg3,6lg2)·eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(5,4).

用已知对数表示其他对数

【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.

[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，

又5＝18b，

所以log3645＝log2×18(5×9)

＝log2×1818a＋b

＝(a＋b)·log2×1818.

又因为log2×1818＝eq\f(1,log18?18×2?)

＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))

＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，

所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).

法二：∵18b＝