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模块七圆锥曲线（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，所以.

故选：D.

2．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（????）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【解析】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为，

由焦半径可得，解得.

故选：A

3．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设PQ的中点为，

则，解得，

即，又点P在曲线上，

所以，即，

所以PQ的中点的轨迹方程为.

故选：A

4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

因为，所以为的中点，

所以，

故直线的斜率.

故选：D

5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：

，，

由，

解得，而，所以双曲线的离心率．

故选：A．

6．已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为以为直径的圆的方程为，

又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，

由，可得，即得直线AB的方程为.

故选：C.

7．已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（????）

A． B． C．14 D．15

【答案】C

【解析】依题意，椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，则，

在中，，

即有，解得，则，即是等腰三角形，

.

故选：C

8．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可知椭圆的蒙日圆方程为，圆心为原点，半径为，

圆的圆心为，半径为，

则圆与必有交点才符合题意，

即两圆圆心距，

则.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（????）

A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线

C．离心率为 D．渐近线方程为

【答案】ABD

【解析】设该双曲线标准方程为，则.

对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；

对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，

可解得，符合题意；

对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；

对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，

故选：ABD.

10．已知圆，，则（????）

A．直线的方程为

B．过点作圆的切线有且仅有条

C．两圆相交，且公共弦长为

D．圆上到直线的距离为的点共有个

【答案】AB

【解析】由题知，，

则直线的方程为，所以A正确；

因为，圆半径为，

过点作圆的切线有两条，所以B正确；

又，

公共弦所在直线为，

圆心到的距离为，

所以公共弦长为，所以C错误；

圆心到直线的距离为，

所以圆上到直线距离为的点有个，所以D错误．

故选：AB

11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（????）

A．当时，

B．

C．若直线的倾斜角分别为，则

D．若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点

【答案】ACD

【解析】设，.

对于选项A：当时，抛物线方程为，准线方程为：，点.

当时，过点的直线方程为.

联立方程组，整理得：，

则.

所以由抛物线的定义可得：，故选项A正确；

对于选项B：当时，直线为轴，此时直线和抛物线只有一个交点，故选项B不正确；

对于选项C：由可得：点，准线方程为，点.

则直线.

联立方程组，整理得：，

则.

因为，

所以

所以，故选项C正确；

对于选项D：因为点关于轴的对称点为点，

，

所以直线与的倾斜角相同，即三点共线.

所以直线必恒过定点，故选项D正确.

故选：ACD.

12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，