第七章　必刷大题14　空间向量与立体几何.docxVIP

1.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中点，PA＝AB.

(1)求证：AM⊥平面PBD；

(2)设直线AM与平面PBD交于点O，求证：AO＝2OM.

2．(2023·长沙模拟)斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.

(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D，使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；

(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．

3．(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1－AD－C的大小为120°，E为棱C1D1的中点．

(1)证明：CD⊥AE；

(2)点F在棱CC1上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF夹角的余弦值．

4．(2023·成都模拟)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE与AC的夹角为45°，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG上靠近点G的三等分点．

(1)求证：A，B，F，H四点共面；

(2)求二面角B－CD－H的平面角的正弦值．

5．(2023·长沙模拟)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EB,\s\up6(→))，且DE∥平面BCC1B1.

(1)求三棱锥C－A1B1C1的体积；

(2)平面A1B1C与平面ABC的夹角为α，CC1与平面A1B1C的夹角为β，求证：α＋β＝eq\f(π,4).

6.如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD∥平面QBC，二面角P－AB－C与二面角Q－CD－A的大小都是30°，AP＝CQ＝eq\r(3)，PD⊥AB.

(1)证明：平面PCD∥平面QAB；

(2)设G为△QBC的重心，在棱AP上是否存在点S，使得SG与平面ABCD夹角的正弦值为eq\f(\r(30),20)？若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．