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2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编02
1.(湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)如图,已知长方体ABCD-
ABCD中,AB=BC=2,AA=2,O为正方形ABCD的中心点,将长方体ABCD-ABCD绕
直线OD进行旋转.若平面α满足直线OD与α所成的角为53°,直线l⊥α,则旋转的过程中,直线
43
AB与l夹角的正弦值的最小值为(
)(参考数据:sin53°≈,cos53°≈)
55
43-333-433+343+3
A.B.C.D.
10101010
【答案】A
【解析】在长方体ABCD-ABCD中,AB⎳CD,则直线AB与l的夹角等于直线CD与l的夹角.
长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AA=2,O为正方形ABCD的中心点,
222
2+22
则OD=OC=+2=2,又CD=2,
2
所以△OCD是等边三角形,故直线OD与CD的夹角为60°.
则CD绕直线OD旋转的轨迹为圆锥,如图所示,∠CDO=60°.
因为直线OD与α所成的角为53°,l⊥α,所以直线OD与l的夹角为37°.
在平面CDO中,作DE,DF,使得∠ODE=∠ODF=37°.
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