大招10和差化积公式.docx

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大招10和差化积公式

和差化积公式

知识点诠释：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2.

规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘.

规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”.

规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘.

注意：

1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系.

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式.

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的.

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如.

5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式.

【典例1】求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

【大招指引】利用和差化积公式化简求值即可.

【解析】（1）

.

（2）.

（3）

.

【题后反思】和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式.

【温馨提醒】应用和差化积公式时的注意事项

（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，

若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次.

（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：

①运用公式之后，能否出现特殊角；

②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.

（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，如

【举一反三】

1．，则.

【典例2】证明：（1）；

（2）.

【大招指引】（1）先将等式左边化为，再利用和差化积公式进行化简即可；（2）现将等式左边化为，再利用和差化积公式进行证明.

【解析】（1）左边

右边.

（2）左边

右边.

【题后反思】解决本题（1）的关键是发现和，所以先将左边化为.

【温馨提醒】三角恒等式证明的常用方法

（1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.

（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.

（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.

（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.

（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

【举一反三】

2．证明下列恒等式．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

3．已知，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．已知，且，则满足条件的的个数为（????）

A．3 B．5 C．7 D．9

5．在中，的最大值是（????）

A． B． C．2 D．

6．满足的正整数n的个数为（????）

A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对

7．的值为（????）

A． B． C． D．前三个答案都不对

8．（）

A．

B．

C．

D．

9．设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（????）

A． B．

C． D．前三个答案都不对

10．已知，且，则的最大值为（????）

A． B．1 C． D．

11．（多选）若，且，则下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

12．若，，则结果用，表示.

13．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.

(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；

(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.

（参考公式：）

14．已知，，求证：．

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参考答案：

1．

【分析】根据和差化积即可求解.

【详解】由得

由于，故两式相除可得

故答案为：

2．