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考研数学二分类模拟题182

选择题

(下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.?下列命题正确的是______

A.若AB=E，则A必可逆且A-1=B

B.若A，B均为n阶可逆矩阵，则A+B必可（江南博哥）逆

C.若A，B均为n阶不可逆矩阵，则A-B必不可逆

D.若A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆

正确答案：D

[解析]因A，B不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A||B|=0，AB不可逆．A项中AB=E，但未指出是方阵，若，则AB=E，但A，B均无逆可言；B项中，取B=-A，则A+B=A-A=O不可逆；C项中，取均不可逆，但A-B=E是可逆矩阵．

?

2.?设A，B是n阶矩阵，AB=O，B≠O，则必有______

A.(A+B)2=A2+B2

B.|B|≠0

C.|B*|=0

D.|A*|=0

正确答案：D

[解析]AB=O，不一定有BA=O，故A项中(A+B)2=A2+B2，不成立；B≠O，|B|可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故B，C项不成立；B≠O，AB=O，AX=0有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A|n-1=0．

?

3.?设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：

??①若A可逆，则B可逆；

??②若A+B可逆，则B可逆；

??③若B可逆，则A+B可逆；

??④A-E恒可逆．

??正确的个数为______

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：D

[解析]由于(A-E)B=A，可知当A可逆时，|A-E||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知①是正确的．

??当A+B可逆时，|AB|=|A||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知②是正确的．

??类似地，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A||B|≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的，

??最后，由AB=A+B可知(A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆．可知④也是正确的．

??综上，四个命题都是正确的，故选D．

?

4.?设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是______

??A．如果|A|＞0，则|B|＞0

??B．如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E

??C．如果，则|B|≠0

??D．存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B

正确答案：A

[解析]两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同．

??当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B-1B=E，可见B项中命题成立．的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故|B|≠0，可见C项中命题也是成立的．矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知D项中命题也是成立的．

??故唯一可能不成立的是A项中的命题．事实上，当|A|＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即|B|≠0，不一定有|B|＞0．故选A．

?

5.?设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O，则A和B的秩______

A.必有一个等于零

B.都小于n

C.一个小于n，一个等于n

D.都等于n

正确答案：B

[解析]AB=Or(A)+r(B)≤n．又A≠O，B≠O，即r(A)≥1，r(B)≥1，则

??r(A)＜n，r(B)＜n．

?

6.?设A为4阶矩阵，其秩r(A)=3，那么r((A*)*)为______

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：A

[解析]由于(A*)*=|A|n-2A，由于A不满秩，故|A|=0．于是(A*)*=O，r((A*)*)=0，故应选A．

?

7.?设

??

??则必有______

A.AP1P2=B

B.AP2P1=B

C.P1P2A=B

D.P2P1A=B

正确答案：C

[解析]B由A第一行加到第三行(A左边乘P2)再将第一、二行对换(P2A左边乘P1)得到，故C成立．

?

8.?设

??

??其中A可逆，则B-1等于______

A.A-1P1P2

B.P1A-1P2

C.P1P2A-1

D.P2A-1P1

正确答案：C

[解析]因B=AP2P1，所以

?

9.?A是n阶矩阵，则______

A.(-2)n|A*|n

B.2n|A*|n

C.(-2)n|A|n-1

D.2n|A|n-1

正确答案：D

[解析]

?

10.?A是n阶矩阵，则______

A.(2)n|A|n

B.(4|A|)n

C.(-2)2n|A*|n

D.|4A|n

正确答案：B

[解析]

?

11.?已知A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，且A3=E，则______

??A．