2024-2025学年北师版中学数学九年级上册第六章反比例函数6.3反比例函数的应用.docx

第六章反比例函数

3反比例函数的应用

教学目标

1.能运用反比例函数的概念、性质解决一些实际问题;

2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型，解决实际问题.

教学重难点

重点：建立反比例函数模型，进而解决实际问题；

难点：通过探索，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.

教学过程

旧知回顾

回顾反比例函数的图象和性质：

1、什么是反比例函数？

2、反比例函数的图象是什么？

3、反比例函数有哪些性质？

4、反比例函数的图象对称性如何？

导入新课

1、反比例函数在实际生活中的应用

例题：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么

(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？

(4)在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象.

教师引导，学生分析：

本题考查反比例函数的应用，并与压力、压强相联系.教师可先引导学生回顾压强公式，找出其中的常量，观察函数的变化规律，从而找到解题思路.解答如下：

由，得.

p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数.

（2）当S＝0.2m2时，＝3000(Pa).

答：当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa.

（3）当p≤6000时，S≥0.1.故木板面积至少要0.1m2.

（4）如图所示.

练习：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,装载完毕恰好用了8天时间.

轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?

由于遇到紧急情况,船上的货物必须在5天内（包括5天）卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?

学生独立完成，教师点评：

解：（1）由已知，得轮船上的货物有30×8=240（吨），

所以v与t的函数关系式为.

（2）把t=5代入，得

=48（吨/天）.

从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨.对于函数，当t0时，v随t的减小而增大，这样，若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸48吨货物.

2、反比例函数在物理问题中的应用

例题：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.

动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?

若要使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?

教师引导，学生分析：

解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5=600，

∴F关于l的函数表达式为.

当l=1.5时，.

对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.

对于函数，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.

当F＝400×＝200时，由200＝，得

3-1.5=1.5.

对于函数，当l＞0时，F随l的增大而减小，因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂l至少要加长1.5m.

练习：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.

（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系?

（2）这个用电器功率的范围是多少?

学生独立完成，教师点评：

解：(1)根据物理知识，当U=220时，得

.

(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.

把电阻的最小值R=110代入求得的表达式，得到功率的最大值

；

把电阻的最大值R=220代入求得的表达式，得到功率的最小值

.

因此用电器功率的范围为220~440W.

课堂练习

1.某数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长ycm与宽

xcm之间的函数关系的图象大致是()

2.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是（）

A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系