2025届高考数学专题复习易错专练：导数及其应用（四）.pdfVIP

2025届高考数学专题复习易错专练：导数及其

应用（四）

【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函

数f(x)aex1lnxlna．

ae

（1）当时，求曲线yf（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐

标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

2

【答案】（1）e1（2）[1,)

【解析】

【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜

式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得

结果；

fxf’x

（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递

f’10fxf11

增，当a1时由得min,符合题意；当a1时，可

1x11

0

f(x)ae0

f()f(1)0fx0

x0x

证a，从而存在零点0，使得0，

得到f(x)min，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基

x1f1

0a1

本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不

符合题意.综合可得a的取值范围.

解法二：利用指数对数的运算可将

lnax1lnx

fx1转化为elnax1elnx



,

x

gxexglnax1glnxgx

令,上述不等式等价于,注意到的

hxlnxx1

单调性，进一步等价转化为lnalnxx1，令,利用导数

hx

求得max，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，

解得a的取值范围.

1

x

xf(x)e

【详解】（1）Qf(x)elnx1，