河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题.docx

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河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知不等式的解集为，不等式的解集为，则为（????）

A． B． C． D．

2．已知，则向量与的夹角为（????）

A． B． C． D．

3．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高，则山高MN=（????）

A．120 B．150 C． D．160

4．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（????）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段的中点N在另一条渐近线上．若，则双曲线C的离心率为（????）

A． B． C．2 D．

6．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（????）

A．； B．；

C．； D．；

7．已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．已知对恒成立，则的最大值为（????）

A．0 B． C．e D．1

二、多选题

9．若数列为递增数列，则的通项公式可以为（????）

A． B． C． D．

10．函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则（????）

??

A． B．圆的半径为

C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数在上单调递增

11．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（????）

A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为

B．若是动点，则的值恒为2

C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是

D．若是动点，则的取值范围是

三、填空题

12．已知是第四象限角，且，则.

13．已知，若，，，则a，b，c按从小到大排列为：.

14．定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为.

四、解答题

15．已知数列为递增的等比数列，为数列的前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列在区间中的所有项的和，求数列的前项和.

16．已知函数，.

(1)求函数的最大值；

(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.

17．如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

??

(1)求抛物线的方程；

(2)求的最小值．

18．已知函数.

(1)若直线与函数的图象相切，求实数的值；

(2)若函数有两个极值点和，且，证明：.（为自然对数的底数）

19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；

②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.

请用以上知识解决下面的问题：

已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.

(1)求；

(2)若，求的最大值；

(3)若，求实数的最小值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

C

A

A

D

D

ABD

AC

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.

【详解】解不等式，得，即，

解不等式，得，即，

所以.

故选：D

2．B

【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；

【详解】因为，设向量与的夹角为

所以，

又因为，所以

故选：B.

3．C

【分析】由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在中，，，从而可求得的．

【详解】解：在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，由得；

山高；

故选：

4．C

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可

【详解】设等差数列的公差为，则，

因为，

所以，

因为等差数列和的前项和分别为、，满足，

所以，

所以，

故选