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五年级第二学期第十一讲逻辑推理

【数学故事:江泽涵】

丰硕的研究成果，形成有影响的中国学派

江泽涵是我国代数拓扑学的开拓者。他在代数拓扑学发展的早期就开始从事研究。那时，

虽然莫尔斯理论等重要结果已经出现，但许多重要而有趣的问题还有待研究，拓扑学在分析

学中的应用也有待深入。江泽涵研究了代数拓扑学的许多重要课题，在莫尔斯临界点理论、

复迭空间、纤维丛以及不动点理论等方面都作出了贡献。

江泽涵最早开展的是临界点理论的研究。在做博士论文及以后的研究工作中，他把莫尔

斯的临界点理论直接应用到分析学中，得到调和函数的许多饶有兴味的结果。如他证明在没

有退化临界点的情况下，３维空间中总质量不为零的ｓ个质点的牛顿位势函数至少有ｓ—１

个临界点；他在总质量为正、负和零的各种情况下，系统地研究了各种分布类型的牛顿函数

的临界点的组成与定义区域的拓扑特征之间的关系。古典分析学中有这样一个定理：若Ｒ是

平面上单连通的带边区域，则Ｒ上的格林函数在Ｒ内部没有临界点。江泽涵用莫尔斯理论研

究了多连通的情形和３维的情形。他对于一个同胚于球体的区域，证明该区域上以一个内点

为极点的格林函数在它的内部存在临界点。对于平面上有光滑边界的ｍ重连通区域Ｒ，他证

明Ｒ上以任一内点为极点的格林函数在Ｒ内部的临界点的重数之和等于ｍ－１。

在抗战时期到５０年代，江泽涵的主要工作是在复迭空间和纤维丛方面。他研究了不可

定向流形的可定向二叶复迭空间，证明了该复迭空间存在一个没有不动点且周期为２的反定

向自同胚等结果。他计算了ｎ维球面的有向与无向线素流形的同调群；又和学生们一起计算

了上同调，以及球面上其它纤维丛的同调群。

江泽涵最重要的工作是在不动点理论方面的研究。不动点理论是２０世纪数学发展中的

重大课题之一。早在３０年代初他就跟着莱夫谢茨研究这个课题。那时，莱夫谢茨已发表他

的著名结果，给出了一个用空间和映射的拓扑性质判别不动点存在性的方法。不久，Ｊ．尼

尔森（Ｎｉｅｌｓｅｎ）又提出了不动点类的概念，并用它估算亏格大于１的可定向闭曲面

上的自同胚的不动点个数。尼尔森的工作比莱夫谢茨进了一步，但他用了双曲几何的特殊工

具，因此他的方法不能用到一般的多面体上。江泽涵用复迭空间来替代双曲几何，并取得成

功，为尼尔森理论的推广打下了基础。６０年代初，江泽涵再次在国内倡导开展不动点理论

的研究。那时，尼尔森理论虽然已被推广到紧致多面体上，自同胚也已推广为任何自映射，

但由于尼尔森计算的困难等障碍，国际上对它的研究已多年处于停滞不前的局面。江泽涵和

他的学生姜伯驹、石根华在多方面开展研究。他先和姜伯驹一起提出自映射的伦型概念，证

明尼尔森数具有伦型不变性。在他的指导下，姜伯驹和石根华在尼尔森数的计算和尼尔森数

的实现问题上取得了重大突破。他们的工作打破了５０年来国际上这个课题研究工作长期停

滞的状态，从而在国际上得到很高的评价，被称为“目前国际上关于不动点理论的必威体育精装版成

果”。同行称他们为拓扑学界的一个新的“中国学派”。美国数学家Ｒ．布朗（Ｂｒｏｗｎ）

在他的一本专著《莱夫谢茨不动点定理》中专门用两章的篇幅介绍了他们的结果。１９７８

年，江泽涵和姜伯驹、石根华一起，以他们在不动点理论方面的出色工作获得了全国科学大

会奖。

７０年代初，江泽涵受到布朗的专著的激励，决心要实现自己多年的宿愿：用自己的观

点和方法来总结我国数学家自己的工作。在“文化大革命”后期的艰难环境里，他经过数年

努力，写出了专著《不动点类理论》，并于１９７９年出版。该书着重几何直观，从特例出

发引出一般理论，由浅入深地展现出不动点类理论的核心问题。它成功地实现了江泽涵的初

衷：为初具拓扑基础的青年读者铺平了学习不动点理论的道路，从而推动了我国不动点理论

的研究。以后，江泽涵又亲自把这本专著译成英文，并于１９８９年由科学出版社与德国施

普林格出版社联合出版。很快它在国际上得到很高的评价。这本书不仅向全世界介绍了中国

数学家的成果，也使世界了解中国数学家坚韧不拔的精神。

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五年级第二学期第十一讲逻辑推理

我国不动点理论的研究出现了蓬勃发展的局面，并在许多方面处于国际上领先的地位，

江泽涵的功绩是不可磨灭的。(未完待续))

第十一讲逻辑推