重庆市2022-2023学年高三上学期第四次（12月）质量检测数学试题.docx

重庆市高2023届高三第四次质量检测

数学试题2022.12

命审单位：重庆南开中学

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知复数z满足：，其中i为虚数单位，则复数z的模（）

A．1B．C．2D．

2．已知集合，则集合的真子集个数为（）

A．7B．8C．15D．16

3．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（）

A．B．1C．D．6

4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．

A．240B．360C．600D．720

5．已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（）

A．1B．2C．4D．

6．已知函数，若关于x的方程有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（）

A．B．C．D．

8．已知数列满足，且，若不等式对于任意正整数成立，则的最小值为（）

A．10B．12C．14D．16

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．下列说法正确的是（）

A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9

B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差

C．用简单随机抽样的方法从51个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是

D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8

10．已知函数，将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数，且不等式对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）

A．B．为的一个零点

C．在上单调递增D．方程在上共有30个解

11．已知函数有三个不同的极值点，且，则下列结论正确的是（）

A．B．C．为函数的极大值点D．

12．如图，过曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量满足，则向量的夹角为__________．

14．已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．

15．已知圆与圆相交于A，B两点，则________．

16．已知是单位向量，满足，则的最大值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．

（1）求；

（2）求数列的前30项和．

18．如图，四棱锥中，平面，，E为中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

19．在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且．

（1）求c；

（2）记的面积为S，求S的取值范围．

20．一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们道过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，测游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸