专题2.3 圆与圆的位置关系（六个重难点突破）（原卷版）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

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专题2.3圆与圆的位置关系

一、圆与圆的位置关系

四、圆系问题

二、由位置关系确定圆的方程

五、圆的公切线问题

三、圆的公共弦问题

六、两圆中的最值范围问题

知识点1圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：

位置关系

几何法

代数法

图示

外离

外切

相交

内切

内含

知识点2圆系方程

1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为:

.整理得.

2.经过圆与圆的两个交点的圆的方程可设为:.

注：当时,即两圆相减时,分为以下三种情况

（1）当两圆相交时,它为公共弦所在直线方程;

（2）当两圆相切时,它为公切线方程;

（3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合;显然,当两圆相离且半径相等时,它为两圆的对称轴.

重难点一圆与圆的位置关系

1．圆：与圆：的公切线有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（????）

A．若和外离，则或

B．若和外切，则

C．当时，有且仅有一条直线与和均相切

D．当时，和内含

3．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是．

4．圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是.

5．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为.

6．圆与圆的位置关系为.

7．已知圆经过三点.

(1)求圆的标准方程；

(2)判断圆C：与圆的位置关系.

判断圆与圆的位置关系的一般步骤：

（1）将两圆的方程化为标准方程；（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径；

（3）求两圆的圆心距d；（4）比较与的大小；（5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系．

重难点二由位置关系确定圆的方程

8．在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

9．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为.

10．若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程:.

11．已知圆．

(1)求直线被圆截得弦长；

(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．

12．已知圆：．

(1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程；

(2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．

重难点三圆的公共弦问题

13．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（????）．

A．1 B．2 C．3 D．4

14．已知是圆与圆的公共点，则的面积为（????）

A．3 B． C． D．

15．已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（????）

A． B． C． D．

16．已知两圆和相交于，两点，则直线的方程是.

17．圆与圆相交所得公共弦长为．

18．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为．

19．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则.

求两圆公共弦长的常用方法：先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．

重难点四圆系问题

20．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为．

21．两相交圆与的公共弦所在的直线方程为，以公共弦为直径的圆的方程为.

22．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为．

23．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程.

24．求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.

25．求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．

重难点五圆的公切线问题

26．（多选）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（????）

A．圆与圆内切 B．

C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为

27．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为.

28．已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程和．

29．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为．

30．已知两圆：和：．求：

(1)取何值时两圆外切；

(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．

31．已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.

(1)求圆M的一般方程；

(2)求圆M与圆O的公切线方程.

重难点六两圆中的最值范围问题

32．如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（????）

A．1 B． C． D．2

33．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

34．（多选）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有