两个重要极限课件.pptVIP

§1-4

v预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logx，e叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.数e是一个无理数，它的前八位数是：e=2.7182818???

3.有关指数运算的知识4.无穷小量定义在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母性质无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.

5.极限的运算法则

v第一个重要极限X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998

证CDxAOB

例1求解这个结果可以作为公式使用

例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：

练习1.求下列极限:

例3解例4解

思考题

练习3：下列等式正确的是（）．练习4：下列等式不正确的是（）

5.下列极限算正确的是（）6.已知当（），小量.

7.已知，当小量．8.9.

v第二个重要极限10100100010000X100000…2.5942.7052.7172.7182.71827-10-100000…-100-1000-10000X2.8682.7322.7202.71832.71828

例1解因为所以，有

例2解方法一令u=-x，因为x?0时u?0，所以

方法二掌握熟练后可不设新变量

例3解

练习1.解

练习2.解

练习3.解

v小结两个重要极限:

练习题

思考题解因为所以令u=x-3，当x??时u??，因此

第一章作业2

两个重要极限的证明

两个重要极限的证明例证?AOB面积扇形AOB面积?AOC面积,即BCRxAO

因为≤≤所以再次运用定理6即可得

重要极限1证其中的两个等号只在x=0时成立.设圆心角过点作圆的切线与OB的A延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，

这就证明了不等式(7).从而有

重要极限2证

这是重要极限2常用的另一种形式.

极限综合练习题(一)分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。

例3求下列极限：

解：当x从0的左侧趋于0时，当x从0的右侧趋于0时,

例5求下列极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：①若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。

解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。

求解。又当x→0时，ax→0，bx→0，于是有

分析：当x→0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1个重要极限。

解法2：

分析：当x→0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。

解：因当x→∞时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到

极限综合练习题(二)1.求极限:解

2.求下列极限：解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即

3.求下列极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即

分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有

5.求解=22+1=5

6.求极限解

7.求极限解：容易算出分式分子的最高次项是分式分母的最高次项是，，所以

8.求极限

9.设函数问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续；（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；（3）当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。f(x)x=0解：要使在右连续，须有limf(x)f(0)，又f(0)a==(1)，+?x0sinx=a=a1==lim?+x0a1f(x)x0，从而。故