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数学建模竞赛驱动下的高等数学课程教学研究

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田德生方次军

【摘要】本文探讨了在数学建模竞赛驱动下高等数学课程的教学改革。笔者发现，加强数学软件和实际案例的讲授，有利于激发学生的学习兴趣和动力，增强实践性认识，提高教学效果，提升学生的数学思维，进而提升学生的数学素养和创新意识。

【关键词】数学建模;高等数学;竞赛驱动

G642?A?1671-8437（2021）22-0008-02

如今科学技术飞速发展，随着计算机技术及各种智能算法机理的发展，数学知识正以空前的广度和深度被应用到各领域。《高等数学》作为理工科学生的一门基础必修课程，一方面内容覆盖面广，结构清晰，另一方面理论性比较强。由于课时限制，教师在讲授时往往将重点局限在基本理论和公式计算等方面，忽视了高等数学的实践性。在高等数学教学中，理论与实践的结合是课程教学改革的重点方向。

全国大学生数学建模竞赛自1992年举办以来，已发展成为我国规模最大的基础性学科赛事，也为新的教学方式的探讨打开了思路[1]。数学建模是针对具体问题构造数学模型的过程，也是关于部分现实世界的数学结构。数学建模竞赛的举办，能让学生将数学知识应用到具体的实际问题中，因此数学模型也是大学生从“学”数学到“用”数学的重要纽带。在数学建模竞赛活动中，高等数学知识是主要工具，但数学建模对同一问题有不同的答案，评价模型的标准是实践，这与解数学题存在明显差异。将数学建模竞赛同高等数学教学有效融合，成为大学数学课程改革研究的热点与重点。以数学建模竞赛为驱动，可促使教师不断完善教学方法，弥补高等数学教材中应用性不足的问题，激发学生的学习动力和兴趣，培养学生的创新能力。

1??丰富应用素材

许多高校目前用的高等数学教材是同济大学数学系编写的，由高等教育出版社出版的第7版。该教材于1978年3月出版，在40多年里经过多次完善，在内容安排和体系结构上都日趋完善。该教材表述清晰，衔接自然，重理论技巧，已成为众多高校首选的高等数学教材。但在教学中遇到复杂知识点时，对于基础薄弱的学生，教师若一味采用枯燥的公式推导演示模式，可能不利于学生理解知识，还会导致学生应用知识比较困难。因此，高等数学教学内容的探索需具备背景知识、结构体系、应用案例、算法介绍等角度;结合具体实例，在高等数学教学中融入数学建模的思想;使用目前流行且易操作的计算机软件，如MATLAB、Maple、Lingo等，对具体问题进行数值计算、仿真与验证或可视化操作[1]。通过用数学软件推导和验证演示求解极限、线性（非线性）优化等运算，使学生体验数学软件的神奇功能。

2??在案例讲解中传授数学建模的方法

在高等数学教学中，基本概念和基本定理是基础。为让学生更好地理解和掌握相关知识，教师可以结合基本概念的背景和基本定理的产生过程，在教学中引入数学建模思想。教师可先用数学语言来描述这些实际问题，建立合理假设，再将这些假设运用数学知识抽象简化成模型，探讨如何求解，进一步分析模型在实际问题中的体现与应用。这样可以让学生深入理解所学知识，激发求知欲望和创新潜能，学会主动求知、不断探索。

高等数学理论性强，若缺少实用性例子的讲解，往往导致大多数学生认为高等数学与实际生活联系不大，从而丧失学习的兴趣[2]。对此，教师可以补充一些应用型案例，如线性规划中的选课策略、微分方程中的传染病模型、导弹追踪问题等，引导学生分析，尝试在合理假设的基础上应用数学知识建立数学模型。这样不仅能深化学生对高等数学知识的学习，又能培养学生的数学建模意识，激发学生的思维，大大增加学生学习数学理论知识的兴趣[3]。

如教师在讲解“函数的极值与最值”和“可降阶的高阶微分方程”之后，可给出例子：计算y=2x+tanx的极值，求y=（y）2+2y的解，并通过MATLAB软件计算解析和数值解。在讲解多元函数的极值时，教师可先介绍非条件极值、条件极值和拉格朗日乘数法，接着引入MATLAB软件关于线性规划和非线性规划的linprog和fmincon函数命令，最后结合2016年全国大学生数学建模竞赛A题——锚链设计问题，设计如下问题：

（1）求浮标的质量;

（2）当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为0度时，求锚链长度和浮标的吃水深度;

（3）当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过20度，求锚链的最小长度和浮标的吃水

深度。

教学设计：

（1）这是一个非线性优化问题，具体计算步骤如下。目标函数：minz=2·π·r2+2·π·r·h1;约束条件：π·r2·h1=3，用MATLAB中的fmincon函数，求解结果：r=0.7816m，h1=1.5632m，用材面积z=11.5149m2，質量m=538.8973kg。

（2）借鉴同济大学第7版上册教材324页例4，可推导出海水