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大招射影定理

三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在

考试中解答题不能直接使用，需要推导不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，.

在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习.

1、射影定理：

在VABC中，内角，，分别对应的边为，，则：＝＋，＝＋，

ABCabc.abcosCccosBbccosAacosC

＝＋

cacosBbcosA.

2、射影定理的证明：

在VABC中，由＋＋＝，得＝﹣＋所以＝＋＝＋

ABCπAπ(BC).sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.

abc

设VABC的外接圆半径为R，由正弦定理得，sinBCcosCcosB，即a＝



2R2R2R

＋同理可证：＝＋，＝＋

bcosCccosB.bccosAacosCcacosBbcosA.

3、射影定理的几何解释：

（）当VABC为直角三角形时（如图），不妨设角为直角，由直角三角形的边角关系得

11B

＝，又＝，所以＝＋；

abcosCcosB0abcosCccosB

（）当VABC为锐角三角形时（如图）过点作⊥，垂足为由直角三角形的边

22AADBCD.

角关系得＝，＝，所以＝＋＝＋；

BDccosBCDbcosCaBDDCbcosCccosB

（）当VABC为钝角三角形时（如图），不妨设角为钝角，过点作⊥，交

33BAADBCCB

的延长线于点，由直角三角形边角关系得，＝，＝∠＝﹣＝﹣

DDCbcosCBDccosABDcos(πB)

，所以，＝﹣＝﹣﹣＝＋

ccosBaDCBDbcosC(ccosB)bcosCccosB.

试卷第1页，共4页

【典例1】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosBbcosA3，且

2AB3

sin，b3，则a（）

24

33

A.B.C.3D.33

42

2AB3

acosBbcosA3c