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大招托勒密定理

托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

如图，设四边形内接于圆，则有＋＝．

ABCDOAB·CDAD·BCAC·BD

证明：不妨在上取一点，使∠＝∠，由∠＝∠，得∽△，

ACEADEBDCDAEDBC△AEDBCD

AEAD

所以，即AE·BD＝AD·BC①又由∠ADB＝∠EDC，∠ADB＝∠ECD，

BCBD

ABBD

△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，两式相加得AC·BD＝AB·CD＋

ECCD

AD·BC．

广义托勒密定理：在四边形中，有＋，当且仅当四边形

ABCDAB·CDAD·BC≥AC·BDABCD

四点共圆时，等号成立．

证明：在四边形内取一点使∠＝∠，∠＝∠，则∽△

ABCDEABEACDBAECAD△ABEACD

ABBEABAE

所以ABCDACBE，又因为，且∠BAC＝∠EAD，所以

ACCDACAD

BCED

△ABC∽△AED，所以ADBCACED；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝

ACAD

（＋），所以＋，等号当且仅当点在上，即，，，

AC·BEEDAB·CDAD·BC≥AC·BDEBDABC

D四点共圆时成立．

试卷第1页，共7页

【典例1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，

该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与

另一组对边所包矩形的面积之和其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条.

对角线的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密.

定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形.ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，

AC、BD是其两条对角线，BD43，且ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为（）

A．163B．16C．123D．12

【大招指引】设ACADCDa，利用托勒密定理求得ABBCBD43，利用圆的

ππ

几何性质可得出ABDACD，CBDCAD，然后利用三角形的面积公式可

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求得四边形ABCD的面积.

【解析】设ACADCDa，由托勒密定理可知ABCDADBCACBD，

即aABaBCaBD，所以ABBCBD43，