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16.1二次根式
1理解二次根式的概念.(重点)
2掌握二次根式有意义的条件.(重点)
3会利用二次根式的非负性解决相关问题.(难点)
问题1什么叫做平方根?
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
问题2什么叫做算术平方根?
问题3什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,
被开方数只能是正数或0.
思考
1.4的平方根是_____;0的平方根是______.
2.5的平方根是_______;5的算术平方根是____.
思考用带根号的式子填空,这些结果有什么特点?
(1)若面积为3的正方形,则边长为_____m;若面积
为S的正方形的边长为_____m.
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,
则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时
间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)
满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,
那么t为_____.
探究一二次根式的定义
问题1这些式子分别表示什么意义?
问题2这些式子有什么共同特征?
①根指数都为2;②被开方数为非负数.
二次根式的定义
一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.
注意:a可以是数,也可以是式子.
①外貌特征:含有“”.
具有两个特征:
②内在特征:被开方数a≥0.
探究二二次根式的性质
问题1二次根式的被开方数a的取值范围是什么?它本身的值又是什么?
当a>0,表示a的算术平方根的平方,因此=a;
当a=0,表示0的算术平方根的平方,因此=0;
这就是说,当a≥0时,=a.
总结:
探究二二次根式的性质
问题2二次根式的被开方数a的取值范围是什么?它本身的值又是什么?
当a>0,表示的算术平方根,因此=a;
当a=0,表示0的算术平方根,因此=0;
当a<0,表示的算术平方根,因此=-a;
这就是说,当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.
例1下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是?
(1)32;(2)6;(3)12;(4)-mm≤0;
(5)xyx,y异号;(6)a21;(7)35.
是被开方数是不是是
分析:是否含二次根号二次根式
非负数
否否
不是二次根式
解:
1.下列各式是否二次根式?说明理由.
(1);(2)(3);(4)(a<0).
解:(1)是二次根式;
(2)根号下小于零,不是二次根式;
(3)是三次根式;
()
4(a<0)是二次根式.
.
例2当x是怎样的实数时,下列在实数范围内有意义?
(1)(2)
解:(1)要使有意义,必须x+3≥0.
解这个不等式,得x≥-3.
即当x≥-3时,在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有≥0,
所以当x为一切实数时,在实数范围内都有意义.
.例3计算:
(1);
(2).
解:(1)==
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