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专题04基本不等式

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：直接利用基本不等式 3

题型二：拼凑法 4

题型三：常数代换 4

题型四：变量分离 5

题型五：消元法 6

题型六：和积转化 7

题型七：换元法 7

题型八：恒成立问题 8

题型九：应用题 9

知识点总结

知识点总结

基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

算术平均数与几何平均数

给定两个正数a，b，数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

利用基本不等式求最值问题

已知x0，y0.

(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2eq\r(P)(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是eq\f(S2,4)(简记：和定积最大)．

【常用结论与注意点】

1.常用的几个结论

(1)若x≠0，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．

(2)若ab≠0，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．

(3)若ab0，x≠0，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(b,x)))≥2eq\r(ab)，当且仅当x＝±eq\r(\f(b,a))时，等号成立．

(4)若a0，b0，则eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立．

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

2.利用基本不等式求最值的两个常用结论

(1)已知a0，b0，x0，y0，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

(2)已知a0，b0，x0，y0，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.

3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

例题精讲

例题精讲

直接利用基本不等式

【要点讲解】利用基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)进行求解

的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．5

函数的最小值为

A．10 B．15 C．20 D．25

已知，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

拼凑法

【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.

已知，那么函数的最小值是

A．5 B．6 C．4 D．8

若，则的最小值为

A．6 B．8 C．10 D．12

已知函数，

A．有最小值 B．有最大值

C．有最小值3 D．有最大值3

设实数满足，函数的最小值为

A． B． C． D．6

已知，的最大值是．

常数代换

【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为1,将所求式子乘以1,1再换成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式