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试卷第=page22页,共=sectionpages2424页
专题07不等式
1.(新课标全国Ⅰ卷)已知函数为的定义域为R,,且当时,则下列结论中一定正确的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】代入得到,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时,所以,
又因为,
则,
,
,
,
,则依次下去可知,则B正确;
且无证据表明ACD一定正确.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用,再利用题目所给的函数性质,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.
2.(全国甲卷数学(理)(文))若实数满足约束条件,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】画出可行域后,利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足,作出可行域如图:
由可得,
即的几何意义为的截距的,
则该直线截距取最大值时,有最小值,
此时直线过点,
联立,解得,即,
则.
故选:D.
3.(新高考北京卷)已知,是函数图象上不同的两点,则下列正确的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设,因为函数是增函数,所以,即,
对于选项AB:可得,即,
根据函数是增函数,所以,故A正确,B错误;
对于选项C:例如,则,
可得,即,故C错误;
对于选项D:例如,则,
可得,即,故D错误,
故选:A.
4.(新高考北京卷)若集合表示的图形中,两点间最大距离为d、面积为S,则(????)
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【分析】先以t为变量,分析可知所求集合表示的图形即为平面区域,结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定,则,且,
可知,即,
再结合x的任意性,所以所求集合表示的图形即为平面区域,
如图阴影部分所示,其中,
可知任意两点间距离最大值;
阴影部分面积.
故选:C.
【点睛】方法点睛:数形结合的重点是“以形助数”,在解题时要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义,解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系,准确利用几何图形中的相关结论求解.
5.(新高考上海卷)已知则不等式的解集为.
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或,
故不等式的解集为,
故答案为:.
6.(全国甲卷数学(理)(文))实数满足.
(1)证明:;
(2)证明:.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)直接利用即可证明.
(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.
【详解】(1)因为,
当时等号成立,则,
因为,所以;
(2)
一、单选题
1.(2024·广西·模拟预测)已知,且,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先确定,再由基本不等式得到,从而求出的取值范围.
【详解】因为,,则,所以.
又,
即,即,解得,
所以,当且仅当,即时,等号成立,
即的取值范围为.
故选:D.
2.(2024·福建福州·一模)已知集合,,则(????)
A.或 B. C. D.或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合,再按照集合的并集运算即可.
【详解】,则,且,解得,
则集合,
则
故选:B.
3.(2024·河北张家口·三模)已知正数m,n满足,则的最大值为(????)
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【分析】在等式两边同时乘以,利用基本不等式可得出关于的不等式,进而可解得的最大值.
【详解】因为m,n为正数,则,当且仅当时,等号成立,
因为,
所以,在等式两边同时乘以,可得:
,
即,解得.
当且仅当时,即当时,取得最大值8.
故选:D.
4.(2024·山东滨州·二模)下列命题中,真命题的是(????)
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式,当且仅当时等号成立,即可判断D.
【详解】对于A,由,可得,故A错误;
对于B,由,,,可得,故B错误;
对于C,若,且当时,可得为任意值,故C错误;
对于D,因为,当且仅当时,等号成立,
即,故D正确.
故选:D.
5.(2024·宁夏·二模)直线过函数图象的对称中心,则的最小值为(????)
A.9 B.8 C.6 D.5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心,从而得到,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为为奇函数,所以函数图象关于中心对称,函数图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位可
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