第7节 第2课时 直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析.doc

2025年高考数学复习讲义及练习解析

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第2课时直线与抛物线的位置关系

课标解读

考向预测

1.会判断直线与抛物线的位置关系.

2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.

3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.

从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.

必备知识——强基础

1．直线与抛物线的位置关系

(1)直线与抛物线的三种位置关系

(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.

①若k≠0，当Δ0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(04))相交，有eq\x(\s\up1(05))两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(06))相切，有eq\x(\s\up1(07))一个交点；

当Δ0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(08))相离，eq\x(\s\up1(09))无交点．

②若k＝0，直线与抛物线eq\x(\s\up1(10))只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的eq\x(\s\up1(11))必要不充分条件．

2．弦长问题

设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k为直线的斜率，k≠0)．

3．抛物线的焦点弦问题

若MN为抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝eq\x(\s\up1(12))x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．

设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．

标准方程

弦长公式

y2＝2px(p0)

|AB|＝x1＋x2＋p

y2＝－2px(p0)

|AB|＝p－(x1＋x2)

x2＝2py(p0)

|AB|＝y1＋y2＋p

x2＝－2py(p0)

|AB|＝p－(y1＋y2)

4.抛物线的切线

(1)过抛物线y2＝2px(p0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．

(2)抛物线y2＝2px(p0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋eq\f(p,2k)(k≠0)．

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；

(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；

(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；

(8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，|DE|＝eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(2p,cos2α).

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，则过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点．()

(2)已知过抛物线C：y2＝x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB|＝1.()

(3)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝2.()

答案(1)×(2)√(3)×

2．小题热身

(1)(人教A选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝()

A．eq\f(8