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2025年高考数学复习讲义及练习解析
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排列组合问题是高中数学的重点和难点内容之一,也是求解概率问题的基础.排列组合问题不仅内容抽象,题型多样,而且解法灵活,不易掌握.解答排列组合问题时,要注意分析题型类别,抓住问题的本质,采取恰当的方法来处理问题.下面我们重点讲解一下定序问题、分排问题、相同元素问题的解题策略.
类型一定序问题
例1身高互不相同的7名同学站成一排,其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有________种(用数字作答).
答案840
解析解法一:先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有Aeq\o\al(4,7)种排法,留下三个空位,甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排,即有Aeq\o\al(4,7)=840种排法.
解法二:将7名同学全排列,有Aeq\o\al(7,7)种排法,因为甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列,所以共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))=840种排法.
一般地,对于某些元素的顺序固定型问题,解决时有两种方法:
(1)倍缩法:先不考虑限制条件,所有元素全排列,再除以定序元素的全排列;
(2)空位(或占位)法:在总位置中,安排非定序元素的位置,然后对定序元素进行排列时,只有1种排法.如已知n个不同的元素进行排列,要求其中m(m≤n,n∈N*,m∈N*)个元素相对顺序固定不变,有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))种不同的方法,或从n个位置中排m个元素之外的n-m个元素,再放这定序的m个元素,共有Aeq\o\al(n-m,n)种不同的方法.
对于给定元素顺序确定,再插入其他元素进行排列:顺序确定的元素为n个,新插入的元素为m个,则排列数为eq\f((m+n)!,n!).
1.某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插入方法的种数为()
A.2 B.11
C.36 D.42
答案D
解析将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法,再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法,利用分步乘法计数原理,共有6×7=42种插入方法.
2.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后进行,那么安排这6项工程不同的排法种数是________.
答案120
解析六个元素进行排序,保证甲、乙、丙三个元素顺序不变,再加入三个元素进行排序,共eq\f(6!,3!)=120种排法.
类型二分排问题
例2(多选)17名同学站成两排,前排7人,后排10人,则不同站法的种数为()
A.Aeq\o\al(7,7)Aeq\o\al(10,10) B.Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)
C.Aeq\o\al(7,17)+Aeq\o\al(10,10) D.Aeq\o\al(17,17)
答案BD
解析17名同学中选7名同学排在前排有Aeq\o\al(7,17)种方法,剩下10名同学全排在后排有Aeq\o\al(10,10)种方法,根据分步乘法计数原理,共有Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)种站法.或将前后排视为一排,共有Aeq\o\al(17,17)种站法.
多排元素排列问题通常可简化为一排考虑.
3.5名学生、1名教师站成前后两排照相,要求前排3人,后排3人,其中教师必须站在前排,那么不同的站法共有()
A.30种 B.360种
C.720种 D.1440种
答案B
解析教师在前排选1个位置,5名学生,站剩余的5个位置,共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)=360种站法.
类型三相同元素问题
例3某校准备参加高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1~4班,每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种?
(2)若每班名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有多少种?
解(1)问题等价于将16个小球串成一串,插入3块隔板,截为4段,16个小球间有15个空隙,从中选3个插入隔板,插法种数为Ceq\o\al(3,15)=455.故不同的分配方案共有455种.
(2)问题等价于先给2班1个小球,3班2个小球,4班3个小球,再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里,求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.将10个小球串成一串,截成4段,截法种数为Ceq\o\al(3,9)=84,因此不同的分配方案共有84种.
相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置
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