专题11 空间几何体的表面积与体积（解析版）.docxVIP

专题11空间几何体的表面积与体积

1、（2023年全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，

，，由的面积为，得，

解得，于是，

所以圆锥的体积.

故选：B

2、（2023年全国甲卷数学（文））在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（????）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【详解】取中点，连接，如图，

??

是边长为2的等边三角形，，

，又平面，，

平面，

又，，

故，即，

所以，

故选：A

3、（2023年全国甲卷数学（理））在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，则，

又，，所以，则，

又，，所以，则，

在中，，

则由余弦定理可得，

故，则，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

4、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5

A．1.0×109m3 B．1.2×109

【答案】C

【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5?148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．

棱台上底面积S=140.0km2=140×

∴V=

=3×320+60

故选：C．

5、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和4

A．100π B．128π C．144π D．192π

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r

故选：A

6、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（????）．

A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为

C． D．的面积为

【答案】AC

【详解】依题意，，，所以，

A选项，圆锥的体积为，A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；

C选项，设是的中点，连接，

则，所以是二面角的平面角，

则，所以，

故，则，C选项正确；

D选项，，所以，D选项错误.

故选：AC.

??

7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（????）

A．直径为的球体

B．所有棱长均为的四面体

C．底面直径为，高为的圆柱体

D．底面直径为，高为的圆柱体

【答案】ABD

【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过的中点作，设，

可知，则，

即，解得，

且，即，

故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，

若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，

可知：，则，

即，解得，

根据对称性可知圆柱的高为，

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．

【答案】/

【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

??

因为，

则，

故，则，

所以所求体积为.

故答案为：.

9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．

【答案】

【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，

所以正四棱锥的体积为，

截去的正四棱锥的体积为，

所以棱台的体积为.

方法二：棱台的体积为.

故答案为：.

??

10、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为棱上的点，证明：.

【解析】(1)如图所示，连结AF，

由题意可得：，

由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，

而平面，故，

从而有，

从而，

则，为等腰直角三角形，

，.

(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，

正方形中，为中点，则，

又，

故平面，而平面，

从而.

题组一、