专题3.4 平面向量及其应用（分层练）（解析版）.docxVIP

专题验收评价

专题3.4平面向量及其应用

内容概览

A·常考题不丢分

题型一平面向量数量积运算

题型二平面向量线性运算

题型三平面向量综合应用

C·挑战真题争满分

题型一

题型一

平面向量数量积运算

一、单选题

1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案.

【详解】由，则，

，则，

则向量在向量上的投影向量为.

故选：B

2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.

【详解】由得，

将代入可得，

所以，所以，

由于，所以，

故选：B

3．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知向量满足，与的夹角为，则等于（????）

A．3 B． C．21 D．

【答案】D

【分析】根据数量积的定义求出，由，结合向量数量积的运算律计算可得.

【详解】，

.

故选：D.

4．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形中，，则的最大值为（????）

A． B．

C．12 D．15

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，求出C的轨迹方程，根据向量数量积及C点坐标的范围得最值.

【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，

??

因为，所以，

即，设，

由可知，点的轨迹为外接圆的一段劣弧，

且，即外接圆半径，

设外接圆的方程为，

代入点可得，，

解得或（舍去），

即点的轨迹方程为，

所以，即，

又，当时，，

此时点在劣弧上，满足题意，故的最大值为12.

故选：C

二、多选题

5．（2023·河北唐山·统考二模）已知向量，，，下列命题成立的是（????）

A．若a//b

B．若，则

C．若，则

D．设，，当取得最大值时，

【答案】AD

【分析】若，则，结合两角差的正弦公式即可判断A；若，则，再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若，则，再结合二倍角的余弦公式即可判断C；求出再结合两角差的余弦公式即可判断D.

【详解】对于A，若，则，

即，所以，即，故A正确；

对于B，若，则，

即，即，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，故B错误；

对于C，，

由，得，

即，

即，则，

则或，

所以或，故C错误；

对于D，，，

则

，

当取得最大值时，，

此时，所以，故D正确.

故选：AD.

6．（2023·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（????）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且

【答案】AC

【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】因为，，，

所以，，

选项A：，所以A正确；

选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；

选项C：因为，所以，所以，所以C正确；

选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得

，所以D错误.

故选：AC

7．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（????）

A．为定值

B．的取值范围是

C．当时，为定值

D．时，的最大值为12

【答案】ACD

【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.

【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则

，故A正确．

取AC的中点为M，连接OM，

则

，

而

故的取值范围是故B错误；

当时，

，故C正确．

当时，圆O半径取AC中点为，中点为，

则

，

最后等号成立是因为，

不等式等号成立当且仅当，故D正确．

故选:ACD.

题型二

题型二

平面向量线性运算

1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）在中，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意画出图形并根据线段比例利用向量的加减法则计算即可求出结果.

【详解】因为，，

所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，如下图所示：

所以.

故选：D

2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知O，P，N在所在平面内，满足，，且，则点O，P，N依次是的（????）

A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心

C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心

【答案】C

【分析】根据和外心性质可判断O为的外心；对变形，结合向量线性运算可判断点P为中线的交点，即为重心；由移项，结合