专题9.1 计数原理、排列组合（原卷版）.docxVIP

专题9.1计数原理、排列组合

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：两个原理的综合应用 3

题型二：涂色问题 6

题型三：排列、组合的基本问题 8

题型四：分堆与分组分配问题 10

题型五：“球”与“盒”模型 11

知识点总结

知识点总结

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(1)分类加法计数原理

①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理

①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准．

3.分类与分步都是数学思维中的“分解”策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤．

排列与组合

(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数

定义及表示

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示

全排列的概念

n个不同的元素全部取出的一个排列

阶乘的概念

正整数1到n的连乘积，用n！表示．Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1

排列数公式(n，m∈N*，m≤n).

连乘式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,?n－m?！)

(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(4)组合数

定义及表示

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示

组合数

公式

乘积式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)

阶乘式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！?n－m?！)

两个

性质

性质1

Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)

性质2

Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)

常用公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)；

(n＋1)！－n！＝n·n！；

(2)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m－1,n－1)＋Ceq\o\al(m－1,n－2)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m－1).

例题精讲

例题精讲

两个原理的综合应用

【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析三点：(1)要完成的“一件事”究竟是什么；(2)怎样算是完成；(3)完成的过程中是分类还是分步，或是在完成的过程中要先分类再分步，亦或先分步再分类等；总之，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤严谨完整”.

某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有

A．9种 B．10种 C．11种 D．12种

电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为

A． B．27 C． D．6

某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有