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专题8.5双曲线

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：双曲线的定义 4

题型二：双曲线的标准方程 5

题型三：双曲线的焦点三角形 6

题型四：双曲线的渐近线 7

题型五：双曲线的离心率 8

题型六：直线与双曲线的位置关系 12

知识点总结

知识点总结

双曲线的定义

(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).

双曲线的标准方程和简单几何性质

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1

(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1

(a0，b0)

图形

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

a，b，c

的关系

c2＝a2＋b2

简单几

何性质

范围

x≥a或x≤－a

y≤－a或y≥a

对称性

对称轴为坐标轴，对称中心为原点

顶点

(－a,0)，(a,0)

(0，－a)，(0，a)

轴长

实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\f(c,a)，且e∈(1，＋∞)

【常用结论与知识拓展】

1．与双曲线定义及标准方程相关结论

(1)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.

(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算．

(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.

(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.

(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性.

(6)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).

2．与双曲线几何性质相关结论

(1)离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.

(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.

(3)通径长为eq\f(2b2,a).

(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·eq\f(sinθ,1－cosθ)＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(θ＝∠F1PF2).

例题精讲

例题精讲

双曲线的定义

【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”还是“双曲线的一支”．

已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为

A． B．

C． D．

动点与点与点满足，则点的轨迹方程为．

与圆及圆都外切的圆的圆心在

A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上

C．一条抛物线上 D．一个圆上

已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为

A． B．

C． D．

已知圆和圆，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为．

已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是

A． B．

C． D．

双曲线的标准方程

【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.

写出一个离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程．

已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是．

与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为

A． B． C． D．

设椭圆的离心