专题9.5 二项分布、超几何分布、正态分布（解析版）.docxVIP

专题9.5二项分布、超几何分布、正态分布

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：n重伯努利试验 3

题型二：二项分布 5

题型三：超几何分布 9

题型四：正态分布的性质 15

题型五：正态分布应用 17

知识点总结

知识点总结

二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·eeq\s\up15(－eq\f(?x－μ?2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

②曲线在x＝μ处到达峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

【常用结论与知识拓展】

1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．

2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．

例题精讲

例题精讲

n重伯努利试验

【要点讲解】在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.

如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则

A． B． C．2 D．4

【解答】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，则“不成功”的概率为，

则完成6次独立重复试验，符合“二项分布”，

即，

．

故选：．

一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为，则

A．3 B． C． D．

【解答】解：易知每次取到白球的概率为，

所以，

则．

故选：．

某人在19次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则

A．14或15 B．15 C．15或16 D．16

【解答】解：因为在19次射击中击中目标的次数为，，

所以，且，

若最大，则，

，即，

解得：，

因为且，所以当或时，最大．

故选：．

设随机变量，满足，，则

A． B． C．4 D．6

【解答】解：由二项分布可知，

因为，所以根据方差的性质有．

故选：．

甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：因为甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，

所以甲命中的次数服从，

则．

故选：．

二项分布

【要点讲解】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)试验是否为n重伯努利试验；(2)随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.

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入住