圆锥曲线的方程（四）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）.docxVIP

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四

知识点一椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题

典例1、已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．

随堂练习：已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为

坐标原点，

（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：

（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.

典例2、已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

随堂练习：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且

是椭圆的内接三角形.

（1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长；

（2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.

典例3、已知椭圆经过点，其右顶点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．

随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．

（1）求C的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

知识点二直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数

典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点.

（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．

（1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；

（2）若直线不过原点，且，求的周长．

典例5、已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．

（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积．

随堂练习：已知抛物线的焦点为，O为坐标原点．

（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积．

典例6、已知抛物线的焦点为，为坐标原点．

（1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；

（2）抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．

随堂练习：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.

（1）求抛物线的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四答案

典例1、答案：（1）（2）

解：（1）由于，所以，则右焦点的坐标为，

当时，代入椭圆方程为，故当是线段的中点时，此时轴，

故，又，联立即可求解

解得，，，椭圆的标准方程：；

（2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0，

设过椭圆的右焦点的直线的方程为，，设，，，，

联立整理得：，

由韦达定理得，．．

为线段的中点，则可得点，．

，

又直线的斜率为，直线的方程为：．

令得，，故令得，,故

因此,

,故

令，故，记，

故当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故当时，取最大值，故此时取最大值，

此时，此时直线的方程为

随堂练习：答案：（1）（2）

解：（1），∴，，，又，

解得，所以椭圆的标准方程为：.

（2），∴，椭圆，

令，直线l的方程为：，

联立方程组：，消去y得，

由韦达定理得，，有，

因为：，所以，，

将点Q坐标代入椭圆方程化简得：，

而此时：.，

而，O点到直线l的距离，

所以：，

因为点P在椭圆内部，所以，得，又，所以

，当，即时等号成立.所以的最大值是.

典例2、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.

解：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，

所以有：，∴，，

∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；

（2）由（1）可知：的坐标为：，

设直线的方程为：，到的距离为，则，

联立可得