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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
素养拓展01柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、知识点梳理
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展:,当且仅当时,等号成立.
注:有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如,对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式:若,则,当且仅当时,等号成立.
证明1:
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当时,等号成立
即,当且仅当时,等号成立.
证明2:对柯西不等式变形,易得在时,就有了当时,等号成立.
推广1:当时,等号成立.
推广:2:若,则,当时,等号成立.
推广3:若,则,当时,等号成立.
二、题型精讲精练
二、题型精讲精练
【典例1】实数x、y满足,则x+y的最大值是________.
解:,则
所以,当且仅当时等号成立.
答案:
【典例2】设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
【分析】(1)根据条件,和柯西不等式得到,再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题,柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式,便可得到参数的取值范围.
【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因,解得时等号成立,所以的最小值为.
(2)因为,所以.
根据柯西不等式等号成立条件,当,即时有成立.
所以成立,所以有或.
【典例3】已知,且,则的最小值为(????)
A.1 B. C.9 D.
【详解】因为,所以
由权方和不等式可得
当且仅当,即时,等号成立.【答案】C
【题型训练-刷模拟】
1.柯西不等式
一、单选题
1.(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之,才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下:对实数和,有等号成立当且仅当已知,请你用柯西不等式,求出的最大值是(????)
A.14 B.12 C.10 D.8
2.(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量,,且,则的最小值为(????)
A. B. C.2 D.4
二、填空题
3.(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为.
4.(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知,,则的最小值为.
5.(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式对任意正实数x,y都成立,则实数k的最小值为.
6.(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C:,⊙D:,M,N分别为⊙C,⊙D上一动点,最小值为4,则取值范围为.
7.已知正实数,,,满足,则的最小值是.
三、解答题
8.(2024·四川南充·三模)若a,b均为正实数,且满足.
(1)求的最大值;
(2)求证:.
9.(2024·四川·模拟预测)已知均为正实数,且满足.
(1)求的最小值;
(2)求证:.
10.(2024高三·全国·专题练习)已知实数a,b,c满足.
(1)若,求证:;
(2)若a,b,,求证:.
2.权方和不等式
一、填空题
1.已知,且满足,则的最小值为________.
2.已知x>0,y>0,且则的最小值是.
3.已知a>0,b>0,且,则的最小值是.
4.(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设,则,当且仅当时等号成立.根据权方和不等式,函数的最小值.
5.(2023高三·全国·专题练习)已知正数,,满足,则的最小值为
6.(2023高三·全国·专题练习)已知,求的最小值为
7.(2023高三·全国·专题练习)已知为锐角,则的最小值为.
8.(2023高三·全国·专题练习)已知正实数、且满足,求的最小值.
9.(2024高三·全国·专题练习)已知,则的最小值是.
10.(2023高三·全国·专题练习)已知实数x,y满足,且,的最小值为.
11.(2024高三·全国·专题练习)已知,则的最小值是.
12.(2023高三·全国·专题练习)已知正数满足,则的最小值为
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