思维拓展02 抽象函数和复合函数的应用（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

思维拓展02抽象函数与复合函数的应用（精讲+精练）

①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）

②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数

③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数

④复合函数的应用

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、抽象函数的性质

1.周期性：；；

；（为常数）；

2.对称性：

对称轴：或者关于对称；

对称中心：或者关于对称；

3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期

4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题

①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有

；

在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有

；

②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；

③关于对称，且单调递增若解不等式，则有

；

关于对称，且单调递减若解不等式，则有

；

④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

5.常见的特殊函数性质一览

①是奇函数

②（为常数）是奇函数

③或者或者或者是奇函数

④关于对称

⑤复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇

二、抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数：，则，

【一次函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则为奇函数；

模型3：若则；

模型4：若则；

【指数函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则；

模型3：若，则；

模型4：若，则；

【对数函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

模型3：若，则

模型4：若，则

模型5：若，则

【幂函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

代入则可化简为幂函数；

【余弦函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

【正切函数模型】

模型：若，则

模型3：若，则

三、复合函数

1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.

2.求复合函数单调性的步骤：

①确定函数的定义域

②将复合函数分解成两个基本函数分解成

③分别确定这两个函数在定义域的单调性

④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。

在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”

增

增

增

增

减

减

减

增

减

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型训练-刷真题】

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（????）

A． B． C．0 D．1

2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（????）．

A． B．

C．是偶函数 D．为的极小值点

4．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

【题型训练-刷模拟】

1.抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）

一、单选题

1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（????）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．是奇函数 D．是偶函数

3．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（????）

A．4047 B．4048 C．4049 D．4050

5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（???）

A．2 B． C．0 D．

6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定为域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（????）

A． B．

C． D．若，则周期为

8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（????）

A． B． C． D．

9．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（????）

A．1 B． C．0 D．

二、填空题

10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则