思维拓展01 柯西不等式与权方和不等式的应用（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展01柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.扩展：，当且仅当时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.

二、权方和不等式

权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.

证明1：

要证

只需证

即证

故只要证

当且仅当时，等号成立

即，当且仅当时，等号成立.

证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．

推广1：当时，等号成立．

推广:2：若，则，当时，等号成立.

推广3：若，则，当时，等号成立.

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________.

解：，则

所以，当且仅当时等号成立.

答案：

【典例2】设，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或.

【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.

【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为.

(2)因为，所以.

根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.

所以成立，所以有或.

【典例3】已知，且，则的最小值为（????）

A．1 B． C．9 D．

【详解】因为，所以

由权方和不等式可得

当且仅当，即时，等号成立．【答案】C

【题型训练-刷模拟】

1.柯西不等式

一、单选题

1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（????）

A．14 B．12 C．10 D．8

【答案】A

【分析】

利用柯西不等式求出即可.

【详解】由题干中柯西不等式可得，

所以的最大值为，当且仅当时取等号.

故选：A

2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.

【详解】因为，

所以

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立.

所以，所以的最小值为.

故选：B

二、填空题

3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为.

【答案】

【分析】令，代入公式即可得解.

【详解】令，

又，，，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为.

故答案为：

4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为.

【答案】9

【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.

【详解】∵

∴,当且仅当时等号成立，即，

∵

，当且仅当时等号成立，可取

故答案为：9

5．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.

【答案】/

【分析】运用柯西不等式进行求解即可.

【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得，

当且仅当，即时等号成立，

则k的最小值为.

故答案为：

6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为．

【答案】

【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.

【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，

即，

由柯西不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立，

即，解得：.

故答案为：

7．已知正实数，，，满足，则的最小值是．

【答案】/

【分析】

利用配凑法及柯西不等式即可求解.

【详解】

由题意可知，

，当且仅当时取“”号．

所以原式的最小值为．

故答案为：.

三、解答题

8．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足.

(1)求的最大值；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；

（2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证.

【详解】（1）由柯西不等式得：，

即，故，

当且仅当，即时取得等号，

所以的最大值为.

（2）要证：