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特训01函数的周期性与对称性及应用（九大题型）
一、函数图象的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称。
2.函数图象对称性的结论
(1)函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)?y=f(x)的图象关于直线x=
(2)函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c?y=f(x)的图像关于点对称
二、函数奇偶性与对称性间的关系
(1)若函数y=?(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
一般的，若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=?(x+a)是奇函数，即?(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
一般的，若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。
三、函数的周期性
1.周期函数的定义
对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,能使得当x取定义域内的所有值时，都有f(x+T)=?(x),则函数y=f(x)叫做以T为周期的周期函数.
函数周期性的结论
(1)若函数f（x）恒满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(2)若函数f（x）恒满足f（x+a）=-f（x），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足/(x+a)=-f（x+b）(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(3)若函数f（x）恒满足f（x+a）=(a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f(x+a)=(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(4)若函数f（x）恒满足f（x+a）=-(a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f(x+a)=-(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.
(5)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.
(6)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等价于(x)=-f(x-3a),则f(x)为周期函数，且是它的一个周期.
四、函数的对称性与周期性间的关系(多对称性产生周期性)
(1)若函数f(x)是偶函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期
推论：若函数f(x)关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.
(2)若函数f(x)是奇函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期
推论：若函数f(x)关于点(a,0)、直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.
(3)若函数f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a≠0)对称，则f(x)是周期函数是它的一个周期
推论：若函数关于点(a,0),(b,0)(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期
目录：
01函数周期性的定义与求解
02由周期性求函数的解析式
03判断证明抽象函数的周期性
04由函数的周期性求函数值
05判断或证明函数的对称性
06由对称性求函数的解析式
07由对称性研究函数的单调性
08由对称性求参数
09函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
01函数周期性的定义与求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（????）．
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【解析】因为的周期是3，
所以，令，
则，所以的周期为6，
故选：C．
2．（2021高一·上海·专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为．
【答案】4
【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解.
【解析】，，又为奇函数，
是周期为的周期函数.
故答案为：4.
3．（20-21高二上·广东汕头·期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则.
【答案】
【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可.
【解析】因为，所以奇函数的周期为.
所以
故答案为:
4．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（???）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即，
又关于原点对称，则，有，
所以的周期为4，故.
故选：A
5．
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