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§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
课标要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相________
且________
多边形
互相________
且________
侧棱
相交于______
但不一定相等
延长线交
于________
侧面
形状
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等,________于底面
相交于______
延长线交
于______
轴截面
侧面展
开图
2.直观图
(1)画法:常用____________.
(2)规则:
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面________.
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍________________,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________,平行于y轴的线段,长度在直观图中变为原来的________.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧=________
S圆锥侧=________
S圆台侧=________
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表=S侧+2S底
V=________
锥体
S表=S侧+S底
V=________
台体
S表=S侧+S上+S下
V=____________
球
S表=________
V=____________
常用结论
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2.直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=eq\f(\r(2),4)S原图形,S原图形=2eq\r(2)S直观图.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形.()
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()
(3)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.()
(4)锥体的体积等于底面积与高之积.()
2.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,则盛水部分的几何体是()
A.四棱台 B.四棱锥
C.四棱柱 D.三棱柱
3.(必修第二册P111T1改编)下列说法正确的是()
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形的直观图是正方形
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
4.若一个圆锥的底面半径和高都是1,则它的母线长等于________,它的体积等于________.
题型一基本立体图形
命题点1结构特征
例1(多选)下列说法正确的是()
A.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体
命题点2直观图
例2如图,△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图,但部分图象被茶渍覆盖,已知O′为坐标原点,顶点A′,B′均在坐标轴上,且△AOB的面积为12,则O′B′的长度为()
A.1B.2C.3D.4
命题点3展开图
例3如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()
A.12cmB.13cmC.eq\r(61)cmD.15cm
跟踪训练1(1)如图,一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形,且O′D′=2,则原平面图形的周长为()
A.4eq\r(2)+4 B.4eq\r(6)+4
C.8eq\r(2) D.8
(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是()
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
(3)有一根高为3π,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为_____
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