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考研数学二分类模拟239

解答题

1.?求．

正确答案：

解：设，通分后应有2x+3≡A(x+5)+B(x-2)．在这个恒等式中，令x=2★，得7=7A，A=1；令x=-5，得-7=-7B，B=1．

??于是

??

??★的说明：这是一种习惯的说法，实际上，从严格的数学理论上来讲，不能直接令x=2(因为2x+3≡A(x+5)+B(x-2)是由变形而得到，即该恒等式是当x≠2及x≠-5时得出来的)，而应令x→2取极限，得7=7A．

[考点]不定积分、定积分、反常积分

?

2.?设f(x)=a0+a1x+…+amxm，A是一个n阶矩阵，定义

??f(A)=a0En+a1A+…+amAm

??称矩阵f(A)是A的一个多项式．证明：如果A～B，那么f(A)～f(B)．

正确答案：

证明：设A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP．从而

??f(B)=a0En+a1B+…+amBm

??=a0En+a1P-1AP+…+amP-1AmP

??=P-1(a0En+a1A+…+amAm)P

??=P-1f(A)P

??因此f(A)～f(B)．

[考点]特征值与特征向量

?

3.?求．

正确答案：

解：令f(x)=arctanx，由拉格朗日中值定理得

??

??其中，则

??

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

?

4.?设f(x)可导，计算，α≠0，β≠0．

正确答案：

解：

??

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

?

从点(x0，0)向位于(0，0)的敌机发射导弹，发射导弹向飞机击去，其中x0＞0．若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数2v．

5.?求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；

正确答案：

解：设导弹在t时刻的坐标为A(x(t)，y(t))，其运行轨迹方程为y=y(x)．在某时刻t≥0，飞机的位置为B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在t时刻导弹运行轨迹曲线的切线斜率与线段AB的斜率相等，于是有

??

??即

??

??上式两边对x求导，得

??

??因为导弹的速度为2v，所以有

??

??代入①，可得

??

??y=y(x)所满足的初始条件为y(x0)=0，y(x0)=0．

[考点]常微分方程及其应用

?

6.?求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需要的时间T.

正确答案：

解：令，则上述微分方程可变为

??

??解得

??

??即

??

??解得导弹运行的轨迹方程为

??

??当导弹击中飞机时x=0，代入上式得，令vT-y(0)=0得，即为导弹击中飞机所需时间．

[考点]常微分方程及其应用

?

7.?求曲线y=x2ln(ax)(a＞0)的拐点M，并求当a变动时拐点M的轨迹方程．

正确答案：

解：

??

??令y=0，得，此时，所以拐点为．当a变动时M的轨迹为．

[考点]一元函数微积分

?

8.?证明：设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r(r＜n)，其中A=(aij)nn．如果δ1，δ2，…，δm都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，那么

??r{δ1，δ2，…，δm}≤n-r

正确答案：

证明：取齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系：η1，η2，…，ηn-r．由于δ1，δ2，…，δm都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，因此δ1，δ2，…，δm可以由η1，η2，…，ηn-r线性表出．从而r{δ1，δ2，…，δm}≤r{η1，η2，…，ηn-r}=n-r．

[考点]线性方程组

?

9.?如图所示，设有曲线，过原点作其切线，求此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

??

正确答案：

解：先求切线方程：在(x0，y0)处的切线为，将(x，y)=(0，0)代入，解得x0=2，，则切线方程为(0≤x≤2)，绕x轴的旋转面面积为

??

??而由直线段绕x轴的旋转面面积为

??

??由此，旋转体的表面积为．

[考点]一元函数微积分

?

10.?设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却．试求物体温度随时间t的变化规律．

正确答案：

解：根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程

??

??其中k(k＞0)为比例常数．分离变量，得

??

??两边积分

??

??得

??ln|T-20|=-kt+C1(其中C1为任意常数)

??即

??T-20=±e-kt+C1=±eC1e-kt=Ce-kt(其中C=±eC1)

??从而T=20+Ce-kt，再将条件T|t=0=1