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考研数学二分类模拟260

解答题

1.?设矩阵相似，求满足P-1AP=B的所有的可逆矩阵P.

正确答案：

解：因为A，B相似，所以|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，可得a=-5，b=-6．

??由|λE-A|=0可知A的特征值为-1(2重)．但是2-r(-E-A)＜2，故A不能相似对角化，所以B也不能．

??设由P-1AP=B，得AP=PB，即有线性方程组

??

??解得基础解系为ξ1=(-9，5，8，0)T，ξ2=(-5，1，0，8)T，可得通解为

??k1ξ1+k2ξ2=k1(-9，5，8，0)T+k2(-5，1，0，8)T

??=(-9k1-5k2，5k1+k2，8k1，8k2)T．

??且当|P|≠0，即k1+k2≠0时，P为所求．

[考点]矩阵的相似．

??[解析]先判别不能相似对角化，再利用相似的定义求解．

??因为本题的矩阵不能相似对角化，所以利用相似的定义转化为线性方程组的问题，题型新颖．

?

2.?设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αm(m＜n)是n维列向量，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαm-1=αm≠0，Aαm=0．证明：向量组α1，α2，…，αm线性无关．

正确答案：

解：设有一组数x1，x2，…，xm，使

??x1α1+x2α2+…+xmαm=0．①

??由题设

??Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαm-1=αm，Aαm=0

??可知Ak-1α1=αk，则

??Am-1αk=Am-1Ak-1α1=Ak-1Am-1α1=Ak-1αm=0(k=2，…，m)．

??以Am-1左乘式①两边，得

??x1αm=0．

??因为αm≠0，所以x1=0．依次类推，可知x2=x3…=xm=0．因此，α1，α2，…，αm线性无关．

[考点]线性相关性的证明．

??[解析]利用线性相关性的定义证明．

?

3.?设求f(n)(0)．

正确答案：

解：因为的3n次多项式，注意到对任何正整数m，，则有

??

??所以对，有f(n)(0)=0．

[考点]分段函数求高阶导数．

??[解析]分段函数在分界点处的导数用定义求解，用归纳法求高阶导数．

??求解高阶导数可以先求1，2阶导数，然后再用数学归纳法求解．

?

4.?证明：对任意实数a和b，不等式成立．

正确答案：

证明：令，所以f(x)在[0，+∞)上单调增加，于是由|a+b|≤|a|+|b|，有f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，即

??

[解析]利用单调性证明不等式，一般是先构造辅助函数，然后证明函数的单调性，最后得出要证明的结论．如果用直接导数不好判定符号，则可借助二阶导数来判断一阶导函数的单调性．

?

5.?计算

正确答案：

解：

??

[考点]二重积分的计算．

??[解析]本题可先分割积分区域，再利用直角坐标计算两个不同区域上的二重积分．

?

6.?计算二重积分，其中D是由圆

??x2+y2=4，x2-2x+y2=0，x2+2x+y2=0

??所围成的平面区域．

正确答案：

解：如下图所示，

??

??

[考点]二重积分的计算．

??[解析]本题可先利用对称性，再利用极坐标来计算二重积分．

??本题先利用对称性可以避免分割积分区域．

?

求函数极限：

7.?．

正确答案：

解：由于极限式中有与|x|，故应分别考虑左、右极限，设则

??

??故，从而

??

[考点]函数极限计算．

??[解析]单侧极限与双侧极限之间的关系．

??单侧极限与双侧极限之间的关系是考研数学中的重要考点．常见的结论是：

??

??另外，需考虑单侧极限的常见函数：分段函数，带绝对值的函数，取整函数，指数函数，以及反正切、反余切函数等．

?

8.?其中[x+1]表示不超过x+1的最大整数．

正确答案：

解：

??

??

[考点]函数极限计算．

?

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求：

9.?方程组Ax=0．

正确答案：

解：由条件，所以A有特征值-1和1．因为r(A)=2，所以A有特征值0．

??设特征值0对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，由于A为实对称矩阵，则有

??

??解得线性无关的特征向量为

??所以Ax=0的解为kα3，k为任意常数．

[考点]二次型的规范型和最值．

??[解析](1)求出属于特征值0的特征向量；

??(2)借助相似对角化，反求矩阵；

??(3)在的条件下，二次型的最值即为特征值的最值．

?

10.?矩阵A.

正确答案：

解：因为α1，α2，α3分别属于不同的特征值，所以两两正交，只需单位化可得正交矩阵

??

[考点]二次型的规范型和最值．

?

11.?二