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考研数学二分类模拟263

解答题

已知微分方程y+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．

1.?若f(x)=x，求方程的通解．

正确答案：

解：y=e-∫dx(∫xe∫dxdx+C)=e-x(∫x（江南博哥）exdx+C)=e-x(xex-ex+C)=Ce-x+x-1．

[考点]一阶线性方程的求解，积分等式的证明．

??[解析]根据一阶线性方程的解法求解即可．

??一阶线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解可用

??

??来表示，用于证明积分等式或不等式．

?

2.?若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

正确答案：

证明：y+y=f(x)的通解为

??

??故当且仅当时，y(x+T)=y(x)，从而方程存在唯一的以T为周期的解．

??[解析]应先求出y+y=f(x)的通解y(x)，再确定满足y(x+T)=y(x)的唯一常数C．

?

3.?设A，B为2阶实对称矩阵，且B可逆，若二次型f(x1，x2)=xTAx和g(x1，x2)=xTBx可经过同一个非退化线性替换x=Py而化为标准形，试证明|λB-A|=0的根都是实数．

正确答案：

解：这里a1，a2，b1、b2都是实数，

??

??由|λB-A|=0可得(λb1-a1)(λb2-a2)=0．

??由|B|≠0可得b1b2≠0，解得均为实数．

[考点]二次型化标准形．

??[解析]二次型化标准形等价于二次型的矩阵合同于一个对角矩阵．

??二次型化标准形的过程实际上是实对称矩阵合同于对角矩阵的过程．特别的，如果是正交变换，则实对称矩阵与对角矩阵也是相似关系．

?

4.?证明二次型不能经过同一个非退化线性替换化为标准形．

正确答案：

解：

??由第一问得证．

[考点]二次型化标准形．

?

5.?设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对任意的x1，x2有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(0)=1，求f(x)．

正确答案：

解：对任意的x∈(-∞，+∞)，由导数定义得

??

??由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0)=0，从而

??

??由此得f(x)=x+C．再由f(0)=0可知C=0，故f(x)=x．

[考点]函数方程确定微分方程．

??[解析]利用已知递推公式，结合导数定义求解．

??当函数方程中出现f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)等形式的关系式时，经常用导数的定义或连续的定义求解．

?

6.?设二元函数

??

??计算二重积分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．

正确答案：

解：如下图所示，记

??D1={(x，y)|x+y≤2，x≥0，y≥0}，

??D2={(x，y)|x2+y2≤2，x≥0，y≥0}，

??则

??

??其中，

??

??

??

[考点]二重积分的计算．

??[解析]本题可先分割积分区域，再分别利用直角坐标和极坐标来计算两个不同区域上的二重积分．

??当被积函数为分段函数时，可通过分割积分区域来计算二重积分．

?

7.?设0＜x1＜3，，证明数列{xn}收敛，并求此极限．

正确答案：

解：先证明数列{xn}的有界性，由0＜x1＜3得3-x1＞0，且

??

??不妨令，则有

??

??由数学归纳法知，{xn}有界．

??再证明数列{xn}的单调性，当n≥2时，由

??

??有xn+1≥xn，故数列{xn}单调增加．

??由单调有界原理知，数列{xn}收敛，令，在递推公式两边取极限，得a=

[考点]数列极限、单调有界原理．

??[解析]利用结论：单调有界数列必收敛．

??数学归纳法是证明题中常见的方法，特别是在数列极限求解中，还要熟记将平均值不等式a＞0，b＞0，经常用来证明数列的有界性．

?

求函数极限：

8.?．

正确答案：

解：这是∞-∞型未定式，通分并进行等价无穷小代换得

??

[考点]∞-∞型未定式的极限求解．

??[解析]通分结合等价无穷小代换求解函数极限．

??对于∞-∞型未定式的极限求解，先通分化差为积商，再利用等价无穷小代换和洛必达法则．在求解过程中可以通过极限来确定复杂函数的等价无穷小．

?

9.?

正确答案：

解：因为．从而

??

[考点]∞-∞型未定式的极限求解．

?

10.?证明：

正确答案：

证明：令f(x)=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1]．由于故f(x)=C．又因为

[考点]拉格朗日中值定理．

??[解析]要证明函数恒等于常数，只要证明其导函数在区间上恒等于零．

??拉格朗日中值定理的推论：在某区间I上，对任意的x∈I，有f(x)≡0，则f(x)=C．