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大招6??五边两角模型
1.五边两角模型
在中,是线段上一点,连接(如图),则有.
证明因为,所以.在中使用余弦定理有,在中使用余弦定理有,所以,所以.
2.正边两角模型的应用
五边两角模型的本质是通过余弦定理及构建三角方程.题目中出现五边两角的结构,且出现,的比例关系时考虑用构建,,,,之间的等量关系求解.
注:五边两角模型在选择、填空题中直接用就行,但是在解答题中使用之前需要推理一下.
【典例1】在中,角,,所对的边分别为,,,,,点在线段上,且,若的面积为,则______.
【大招指引】先根据正弦定理将角化边,再根据三角形面积公式得到边,进而利用余弦定理、五边两角模型进行求解.
【解析】如图所示,先根据正弦定理将角化边,
得到,于是就有,由于,
因此.再根据三角形面积公式得,解得,,
接下来使用余弦定理得到.
由于,因此,,此时使用五边两角模型得,
即,
从而求得.
【题后反思】因为、、、、,所以联想到五边两角模型.
【温馨提醒】五边两角模型的实质是和两次余弦定理,要注意其使用条件.
【举一反三】
1.在中,为上一点,满足,且∠BAC+∠DAC=π.
(1)证明:.
(2)若,求.
【典例2】已知内角、、的对边为、、(其中),若.
(1)求角的大小;
(2)若点是边上的一点,,,求的最大值.
【大招指引】(1)根据正弦定理边角互化,即可求解,进而可求解;(2)根据正边两角模型可得,进而根据正弦定理得,根据二倍角公式以及和差角公式,结合三角函数的性质即可求解.
【解析】(1)由正弦定理得,
,
即有,
∵,∴,则,而,∴.
(2)因为,,∴,,
且,
所以利用正边两角模型,得,
即,
即.
又由(1)∴,,设,,
则由正弦定理有,,且,
所以
,
故,当时取到.????
【题后反思】本题第(2)问也可按如下解法:
由余弦定理有
;
,
而,,∴,,
又,所以.
【温馨提醒】五边两角模型的实质是和两次余弦定理,要注意其使用条件.
【举一反三】
2.在中,角的对边分别为,且.
(1)求角:
(2)已知D为边上一点,,且,求的最小值.
3.在中,角所对的边分别为,,,且.
(1)求;
(2)已知,为边上的一点,若,,求的长.
4.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D是边上一点,,,,且.
(1)若,证明:;
(2)在(1)的条件下,且,求的值.
5.内角的对边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)是边上一点,且,求面积的最大值.
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参考答案:
1.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据边长关系得到S△ABC=3S
(2)设,,表达出其他边长,,,根据互补关系得到,计算出2n2=3m2,由余弦定理求出答案.
【详解】(1)因为为上一点,满足,
所以S△ABC=3S
因为∠BAC+∠DAC=π,所以sin
所以;
(2)由(1)知,设,则,
又因为,为上一点,,
设,则BD=2n,,
??
在中,,
在中,,
所以,
所以2n
在中,.
2.(1)
(2)
【分析】(1)化切为弦,由两角和正弦公式及内角和定理化简,再由正弦定理化边为角得,从而解得角;
(2)法一,由向量关系式,平方得边的关系,再妙用“”的变换,利用基本不等式求最值.法二,设出边角,分别在三个三角形中利用余弦定理得到等量关系,消掉参数得到的等量关系,再同法一利用基本不等式求解最值即可.
【详解】(1)由,得,
于是,
由及正弦定理,
得,
因为,,,,
所以,
由,得.
(2)方法一:因为,
则
所以
,
则,
化简得:
∵,,∴
则,
故,
当且仅当时,等号成立.
故的最小值是.
??
方法二:因为,
如图,可设,,,
在中,由余弦定理①,
在中,由余弦定理,
即:②,
得:
,
化简得,,
在中,由余弦定理,
即,则代入得,
,整理得,
∵,,∴
即,
所以,
当且仅当时,等号成立.
故的最小值是.
??
3.(1);
(2).
【分析】(1)结合三角恒等变换中的辅助角公式整理即可求解;
(2)利用余弦定理计算出,,再转化为正切值计算即可,
【详解】(1)因为,所以,
所以,,,所以,,
因为,所以.
(2)因为,,,
根据余弦定理得:
,∴.
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
4.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)应用正弦定理得、,根据已知有,将左侧化简整理为,即可证结论;
(2)由及余弦定理得到,结合求得,最后应用余弦定理求即
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