大招6五边两角模型.docx

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大招6??五边两角模型

1.五边两角模型

在中,是线段上一点,连接(如图),则有.

证明因为,所以.在中使用余弦定理有,在中使用余弦定理有,所以,所以.

2.正边两角模型的应用

五边两角模型的本质是通过余弦定理及构建三角方程.题目中出现五边两角的结构,且出现,的比例关系时考虑用构建,,,,之间的等量关系求解.

注:五边两角模型在选择、填空题中直接用就行,但是在解答题中使用之前需要推理一下.

【典例1】在中,角,,所对的边分别为,,,,,点在线段上,且,若的面积为,则______.

【大招指引】先根据正弦定理将角化边,再根据三角形面积公式得到边,进而利用余弦定理、五边两角模型进行求解.

【解析】如图所示,先根据正弦定理将角化边,

得到,于是就有,由于,

因此.再根据三角形面积公式得,解得,,

接下来使用余弦定理得到.

由于,因此,,此时使用五边两角模型得,

即,

从而求得.

【题后反思】因为、、、、,所以联想到五边两角模型.

【温馨提醒】五边两角模型的实质是和两次余弦定理,要注意其使用条件.

【举一反三】

1.在中,为上一点,满足,且∠BAC+∠DAC=π.

(1)证明:.

(2)若,求.

【典例2】已知内角、、的对边为、、(其中),若.

(1)求角的大小;

(2)若点是边上的一点,,,求的最大值.

【大招指引】(1)根据正弦定理边角互化,即可求解,进而可求解;(2)根据正边两角模型可得,进而根据正弦定理得,根据二倍角公式以及和差角公式,结合三角函数的性质即可求解.

【解析】(1)由正弦定理得,

即有,

∵,∴,则,而,∴.

(2)因为,,∴,,

且,

所以利用正边两角模型,得,

即,

即.

又由(1)∴,,设,,

则由正弦定理有,,且,

所以

故,当时取到.????

【题后反思】本题第(2)问也可按如下解法:

由余弦定理有

而,,∴,,

又,所以.

【温馨提醒】五边两角模型的实质是和两次余弦定理,要注意其使用条件.

【举一反三】

2.在中,角的对边分别为,且.

(1)求角:

(2)已知D为边上一点,,且,求的最小值.

3.在中,角所对的边分别为,,,且.

(1)求;

(2)已知,为边上的一点,若,,求的长.

4.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D是边上一点,,,,且.

(1)若,证明:;

(2)在(1)的条件下,且,求的值.

5.内角的对边分别为,已知.

(1)求角的大小;

(2)是边上一点,且,求面积的最大值.

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参考答案:

1.(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据边长关系得到S△ABC=3S

(2)设,,表达出其他边长,,,根据互补关系得到,计算出2n2=3m2,由余弦定理求出答案.

【详解】(1)因为为上一点,满足,

所以S△ABC=3S

因为∠BAC+∠DAC=π,所以sin

所以;

(2)由(1)知,设,则,

又因为,为上一点,,

设,则BD=2n,,

??

在中,,

在中,,

所以,

所以2n

在中,.

2.(1)

(2)

【分析】(1)化切为弦,由两角和正弦公式及内角和定理化简,再由正弦定理化边为角得,从而解得角;

(2)法一,由向量关系式,平方得边的关系,再妙用“”的变换,利用基本不等式求最值.法二,设出边角,分别在三个三角形中利用余弦定理得到等量关系,消掉参数得到的等量关系,再同法一利用基本不等式求解最值即可.

【详解】(1)由,得,

于是,

由及正弦定理,

得,

因为,,,,

所以,

由,得.

(2)方法一:因为,

所以

则,

化简得:

∵,,∴

则,

故,

当且仅当时,等号成立.

故的最小值是.

??

方法二:因为,

如图,可设,,,

在中,由余弦定理①,

在中,由余弦定理,

即:②,

得:

化简得,,

在中,由余弦定理,

即,则代入得,

,整理得,

∵,,∴

即,

所以,

当且仅当时,等号成立.

故的最小值是.

??

3.(1);

(2).

【分析】(1)结合三角恒等变换中的辅助角公式整理即可求解;

(2)利用余弦定理计算出,,再转化为正切值计算即可,

【详解】(1)因为,所以,

所以,,,所以,,

因为,所以.

(2)因为,,,

根据余弦定理得:

,∴.

所以,

所以,

所以,

所以,

所以.

4.(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)应用正弦定理得、,根据已知有,将左侧化简整理为,即可证结论;

(2)由及余弦定理得到,结合求得,最后应用余弦定理求即

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