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考研数学二分类模拟题54

一、填空题

1.?设y=y(x)满足且有y(1)=1，则

正确答案：

[解]由得函数y=y(x)可微且积分得因为y(1)=1，所C=0，

??于是故

??

?

2.?微分方程的通解为______.

正确答案：

[解]由得

??令z=ey，则解得

??所以原方程的通解为

?

3.?微分方程yy-2(y)2=0的通解为______.

正确答案：

y=C或者

[解]令y=p，得代入原方程得

??

??则p=0，或

??当p=0时，y=C；

??当时即

??由得从而所以原方程的通解为y=C或者

?

4.?微分方程的通解为______.

正确答案：

[解]

??所以

?

5.?以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______.

正确答案：

y-3y+4y-2y=0

[解]特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程为y-3y+4y-2y=0.

?

6.?设y(x)为微分方程y-4y+4y=0满足初始条件y(0)=1，y(0)=2的特解，则

正确答案：

[解]y-4y+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x，

??由初始条件y(0)=1，y(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，

??于是

?

二、选择题

1.?设y(x)是微分方程y+(x-1)y+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y(0)=1的解，则______.

A.等于1

B.等于2

C.等于0

D.不存在

正确答案：A

[解]微分方程y+(x-1)y+x2y=ex中，令x=0，则y(0)=2，

??于是选A．

?

2.?二阶常系数非齐次线性微分方程y-2y-3y=(2x+1)e-x的特解形式为______.

A.(ax+b)e-x

B.x2e-x

C.x2(ax+b)e-x

D.x(ax+b)e-x

正确答案：D

[解]方程y-2y-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y-2y-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选D．

?

3.?设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______.

A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)

B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)

C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]

D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1

正确答案：D

[解]因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程ya1(x)y+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为

??C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)

??即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．

?

三、解答题

设f(x)是连续函数.

1.?求初值问题的解，其中a＞0；

正确答案：

[解]y+ay=f(x)的通解为

??由y(0)=0得C=0，所以

?

2.?若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有

正确答案：

[证明]当x≥0时，

??

??因为e-ax≤1，所以

?

3.?设有微分方程y-2y=φ(x)，其中，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0.

正确答案：

[解]当x＜1时，y-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；

??当x＞1时，y-2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，

??y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y-(1-e-2)e2x，

??补充定义y(1)=e2-1，则得在(-∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数

??

?

4.?设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.

正确答案：

[解]令P(x，y)=xy(z+y)-f(x)y，Q(x，y)=f(x)+x2y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[