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考研数学二分类模拟题58

一、填空题

1.?设，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．

正确答案：

2?1

[解]，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1.

?

2.?设η为非零向量，，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．

正确答案：

3?k(-3，1，2)T

[解]AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2)T．

?

二、选择题

1.?设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______.

A.r(A)=s

B.r(A)=m

C.r(B)=s

D.r(B)=n

正确答案：A

[解]设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．

?

2.?设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______.

??A．AX=b的通解为k1η1+k2η2

??B．η1+η2为AX=b的解

??C．方程组AX=0的通解为k(η1-η2)

??D．AX=b的通解为

正确答案：C

[解]因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n-1，η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．

?

3.?设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：

??(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)

??(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解

??(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)

??(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解

??以上命题正确的是______.

A.(1)(2)

B.(1)(3)

C.(2)(4)

D.(3)(4)

正确答案：B

[解]若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．

?

4.?设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则______.

A.当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解

B.当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解

C.当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解

D.当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解

正确答案：A

[解]AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．

?

5.?设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______.

A.r(A)=m

B.r(A)=n

C.A为可逆矩阵

D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示

正确答案：D

[解]方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．

?

三、解答题

1.?设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．

正确答案：

[证明]令，因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．

?

2.?设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2.讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．

正确答案：

[解]

??(1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；

??(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0)T+k2(-1，0，1，…，0)T+…+kn-1(-1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；

??(3)令，当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．

?

3.?设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组