大招12射影定理.docx

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大招12??射影定理

三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导.不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习.

1、射影定理：

在中，内角A，B，C分别对应的边为a，b，c.则：a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.

2、射影定理的证明：

在中，由A＋B＋C＝π，得A＝π﹣(B＋C).所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.设的外接圆半径为R，由正弦定理得，，即a＝bcosC＋ccosB.同理可证：b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.

3、射影定理的几何解释：

（1）当为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形的边角关系得a＝bcosC，又cosB＝0，所以a＝bcosC＋ccosB；

（2）当为锐角三角形时（如图2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.由直角三角形的边角关系得BD＝ccosB，CD＝bcosC，所以a＝BD＋DC＝bcosC＋ccosB；

（3）当为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，由直角三角形边角关系得，DC＝bcosC，BD＝ccos∠ABD＝cos(π﹣B)＝﹣ccosB，所以，a＝DC﹣BD＝bcosC﹣(﹣ccosB)＝bcosC＋ccosB.

【典例1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（????）

A.????B.????C.3????D.

【大招指引】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值.

【解析】因为，所以，

又因为，所以，

所以，所以，

又因为，，所以是等边三角形，所以.

故选：C.

【题后反思】由三角形中的射影定理，结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.

【温馨提醒】射影定理有其代数证明和几何解析，代数证明也可利用余弦定理将角的余弦值转化为边，由等式的右边进行证明.

【举一反三】

1．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为.

【典例2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为.

【大招指引】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.

【解析】在中，由射影定理及得：，

由正弦定理边化角为：，于是得，

由得，，即角是钝角，，

，

当且仅当，即时取“=”，

所以tanA的最大值为.

故答案为：

【题后反思】本题也可以先利用正弦定理将化为，再利用三角形的内角和定理和诱导公式化为，再利用两角和的正弦公式进行化简.

【温馨提醒】遇到三角等式一边只有一边时，利用射影定理转化为边角可能起到意想不到的效果.

【举一反三】

2．在△ABC中，求证：．

3．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（????）

A． B． C． D．

4．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则.

5．ΔABC的内角的对边分别为，若，则．

6．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，则的面积为．

7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)证明：是等腰三角形；

(2)若的面积为，且，求的周长．

8．在①；②.

这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积，，___________，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

9．已知函数.

(1)求方程在区间的解集；

(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.

10．已知中，角、、的对边分别是、、，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

11．在中，角，，所对的边分别为，，，且

（1）求角；

（2）已知，求周长的取值范围.

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参考答案：

1．

【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.

【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,

又∵，∴，由，可得，

解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，

故答案为：.

2．证明见解析