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第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
(2024年9月21日9:00-12:00)
一、(45分)
(1)(1.1)记质量为的振子偏离平衡位置的位移为(向左为正),单摆的偏转角为(向左为正),摆臂
上的张力为,按牛顿第二定律,摆锤在水平方向上的运动方程为
̈+cos−̈̇sin=−sin①
在竖直方向上的运动方程为
−sin−̈̇cos=g−cos②
利用小幅度振动条件,保留到小量的领头阶,有
sin,cos1③
将③式代入①②式,并保留到小量的领头阶,得
Tmg④
̈++̈g=0⑤
【
注:利用悬点不动的非惯性系也可更方便地得到上述结果。在悬点不动的非惯性系中,摆锤额外受到横向的
惯性力−̈,有角向运动方程
̈
=−gsin−̈cos①′
同时也有径向运动方程
2
mlθmgcosθTmxsin②′
进一步利用小摆幅条件,保留到小量的领头阶,即得⑤④式。
】
质量为的振子在水平方向上做一维运动,由牛顿第二定律得
̈=−+sinθ+cosω⑥
由③④⑥式得
̈+−g=cos⑦
只考虑系统在强迫力下的稳定振动,稳定振动的圆频率为,设
xAcos(tx)⑧
lBcos(t)⑨
其中、是稳定振动与所受强迫力之间的位相差。将⑧⑨式代入方程⑤⑦后,所得出的两个方程对任
意时间均成立,故有
0,0⑩
x
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