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第41届全国中学生物理竞赛复赛试题

（2024年9月21日上午9:00-12:00）

考生须知

1、考生考试前请务必认真阅读本须知。

2、本试题共7道题，5页，总分为320分。

3、如遇试题印刷不清楚的情况，请务必及时向监考老师提出。

4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不给分。

一、（45分）高层建筑（大楼）在风的作用下会发生晃动。在特定条件下，大

楼的晃动幅度会变得较大，影响到安全。

（1）为了减小晃动幅度，通常会在高层建筑上加装阻尼器，例如悬点固定在

大楼上、摆锤质量为、摆臂长度为的摆，摆臂是刚性的，质量可以忽略；大

楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动，谐振子的质量为，恢复力

等效为劲度系数为的弹簧，大楼在运动过程中可视为刚体。整个摆和谐振子

系统如图1a所示，系统的总质量为与之和。风可视为水平方向上的强迫力

（向左为正），它随时间的变化为图1a

FtHcosωt



其中振幅和频率ω均为常量。重力加速度大小为g。为简单起见，只考虑摆和谐振子的小幅度振动（因而

摆便成为单摆）。

（1.1）求谐振子因强迫力的作用产生的稳定振动的振幅；

（1.2）指出在没有阻尼器的情况下，风的频率为多大时，大楼受迫振动的振幅最大？对此频率的风，

阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动？

（2）若风的频率为第（1.2）问中求出的风的频率的0.99倍，在没有阻尼器的情况下，求此时大楼受迫振

√

动的振幅有多大?若安装的阻尼器参数符合第（1.2）问中得到的条件，为了使得大楼在此风的作用下的受

l

迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%，阻尼器的质量应该为的多少倍？

（3）实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力，通常做法是将摆锤浸泡在固定于建筑物上的油池中（相

对于建筑物的质量，油的质量可以忽略；油池质量可视为已包含在大楼的质量之内）。已知当摆锤与油的

相对速度为v时，摆锤受到的阻尼力为



fv

其中γ为常量。试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组（列方程组时不做小幅度近似，无需求解该方程

组），为简单起见，假定摆球摆动时，油可视为相对于油池（固定在大楼上）静止。试根据你的理解定性分

析为什么阻尼力是必不可少的。

Q

二．（50分）打台球时常用球撞击目标球，如图2a所示。Q球与球的质量和半径R均相同，且两

TTm

球质量分布都是均匀的;Q球在碰撞前的瞬间具有质心速度v和转动角速度

0

Q

，v沿方向；碰撞时间极短，且球和球之间没有摩擦，可认为两球碰

00yT

撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。

（