2025届高考数学专题复习精品讲义：第二讲 导数的综合应用.pdfVIP

第二十讲导数的综合应用

一、课程标准

1、利用导数证明不等式有关的综合问题

2、利用导数研究零点有关的综合问题

3、通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在

解决实际问题中的作用.

二、基础知识回忆

1、逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严

谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的

难度，优化了推理和运算过程．

(1)对数形式：x≥1＋lnx(x0)，当且仅当x＝1时，等号成立．

x

(2)指数形式：e≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进

x

一步可得到一组不等式链：ex＋1x1＋lnx(x0，且x≠1)．

2、一般地，若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)；若af(x)对x

max

∈D恒成立，则只需af(x).若存在x∈D，使af(x)成立，则只需

min00

af(x)；若存在x∈D，使af(x)成立，则只需af(x).由此构造

min000max

不等式，求解参数的取值范围．

分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数

零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断

不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接

通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二

次函数或者一次函数．

提示：求解参数范围时，一般会涉及别离参数法，理科试题中很

少碰到别离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要

设出导函数的零点，难度较大．

[判断、证明或讨论函数零点个数的方法]利用零点存在性定理

的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0.

①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明

f(a)·f(b)0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，

确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取

值证明f(a)·f(b)0.

3、数学模型及数学建模

，

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括再从数学角度来

，

反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．

，，

数学建模是把实际问题加以抽象概括建立相应的模型利用这

些模型来研究实际问题的一般数学方法．

4、常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂

函数．

三种增长型函数模型的性质

函数

xn

性质y＝a(a1)y＝logx(a1)y＝x(n0)

a

在(0，＋∞)上的单调递增单调递增单调递增

增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

xx

随的增大逐渐随的增大逐渐