2025届高考数学专题复习精品讲义：第三十二讲 平面向量的应用.pdfVIP

第三十二讲平面向量的应用

课程标准

1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向

量的垂直关系．

3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

基础知识回忆

1.向量在平面几何中的应用

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形

法则，有时也用到向量减法的定义．

(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运

x1y1

用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔＝⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．

x2y2

(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋

y1y2＝0．

a·b

(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝

|a||b|

x1x2＋y1y2

.

21212222

x＋yx＋y

(5)用向量方法解决几何问题的步骤：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，

将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果“翻译〞成几何关系．

2.向量在解析几何中的应用

(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．

设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝

a2a2

tanα＝；如果已知直线的斜率为k＝，则向量(a1，a2)与向量(1，

a1a1

k)一定都与l平行．

a2

(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝(x－x0)，

a1

a1

过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－(x

a2

－x0)．

自主热身、归纳总结

1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，

―→―→―→―→

若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨

迹一定通过△ABC的()

A．内心B．外心

C．重心D．垂心

【答案】C

―→―→―→―→―→―→

【解析】由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋

―→―→―→―→

AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC＝2AD(D为BC的中点)，

所以点P的轨迹必过△ABC的重心．应选C.

→→→→

2、在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是________

三角形．()

A.等边B.等腰C.直角