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主元反距离加权迭代在病态平差模型中的应用
徐晶鑫;黄其欢
【摘要】主元加权法在一定程度上克服了最小二乘估计稀疏方差较大的问题,但
并没有较好的方法能准确选取权重参数,一定程度上制约了该方法的可用性。引入
测量数据中反距离作为增加权重,降低了原主元权重参数的影响,使该方法在解决
病态平差线性方程中具有更好的稳定性。
【期刊名称】《地理空间信息》
【年(卷),期】2017(015)001
【总页数】2页(P72-73)
【关键词】反距离加权;测量平差;主元加权迭代法;病态线性方程
【作者】徐晶鑫;黄其欢
【作者单位】河海大学地球科学与工程学院,江苏南京210098;河海大学地球科
学与工程学院,江苏南京210098
【正文语种】中文
【中图分类】P207
在大数据时代背景下,解算大量线性模型时会遇到一些病态的线性方程组,而通过
最小二乘估计等方法对方程进行求解时,估计值会出现严重的偏差,极大地影响了
相关科技工作的进展[1]。在测量平差工作中,解决数据之间的病态性,加强数据
整体的稳定性是当前不可忽视的一个重要问题。
测量平差中,通过已有观测数据求解拟合模型的系数矩阵时,由于观测数据中存在
误差,一旦矩阵行或列向量间有较强的相关性,这些观测矩阵则会呈现病态,即
XTX的奇异程度高,使得最小二乘估计的系数方差较大,其模型的普适性较低。
现有的解决方法主要包括岭估计、奇异值分解法、遗传算法和误差方程正交化等。
岭估计,又称岭回归,是Hoerle于1962年提出,并由他和Kennard于1970年
做了系统的发展[2]。岭估计是一种有偏估计,利用有偏换取平差模型的稳定性。
奇异值分解法、遗传算法和误差方程正交化原理复杂,在实际工作中应用不便。文
献[3]将主元加权迭代法引入了测量数据的平差处理,采用主元加权的预处理手段,
降低系数矩阵的条件数,改善矩阵的病态性;再经过一组迭代公式求解,提高了测
量数据的准确性。但是,该方法在选取主元权重参数α时存在确定困难的关键问
题,一旦权重参数选取不当,平差数据的精度会大大降低。
本文引入测量数据中的反距离作为增加权重,降低了权重参数α对该方法的决定
性作用,根据测量的实际情况选取相应的反距离权重参数P,增强了模型的稳定性。
本文分别就良态和病态两种情况选择实例计算,并与高斯约化法、谱修正法进行了
对比分析。
1.1反距离权重
设估值点为Q,通过周围测得的观测值来估值计算Q点的近似值,每站观测的距
离为d。因为距离不同的观测点对估值的贡献不同,则赋予各参与平差点位数据不
同的权重p,将反距离作为估值计算的权重,其一般形式为[4]:
式中,pi为权值;di为i点和待估点的水平距离;L为估值前确定的可变参数。
设估值点为i,则可得到关于距离的权阵为:
1.2计算步骤
测量数据处理中存在诸多病态线性方程组,一般形式为:
线性方程组A的内部元素之间存在一定的共线性,即ATA的奇异程度较高,在利
用最小二乘估计时其系数方差较大。同时可用矩阵的条件数cond(A)来衡量线性
方程的病态性,当矩阵严重病态时,cond(A)>>1[5]。
将反距离的权重叠加到主元来改善ATA的奇异程度,即
式(4)两边都含有xa可以构造迭代公式:
针对平差方程良态和病态两种情况,通过实例分别分析利用主元反距离加权迭代法、
主元加权迭代法、高斯约化法和谱修正法的平差估值效果。
2.1平差方程的良态问题
本算例取自文献[3],其法方程为:
此方程为良态方程,利用主元反距离加权迭代法、高斯约化法和谱修正法对方程进
行计算,结果见表1。
表1中计算结果完全相同,由此可见,当线性方程良态时,主元反距离加权迭代
法可以得到与谱修正法、高斯约化法和主元加权迭代法一致的结果;且与主元加权
迭代法相比,主元反距离加权迭代法大大弱化了权重参数α的影响。
2.2平差方程的病态问题
本算例取自文献[6],其法方程为:
此方程为病态方程,ATA奇异程度极高。利用高斯约化法、谱修正法和主元反距
离加权迭代法分别进行了10次迭代计算,结果见表2。
由表2可知,主元反距离加权迭代法很好地改善了病态平差方程中最小二乘估计,
且效果要优于谱修正法和高斯约化法。此外,在病态线性方程组的解算过程中,不
在完全受权重参数α的制约,在本算例中,α的选取在1~4之间都能达到较高的
方程解算精度。
主元反距离加权迭代法不仅在良态平差线性方程组中与谱修正法、高斯约化法有较
为一致的精确解,而且在病态平差线性方程中,能够较好地改善最小二乘估值的解
算精
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