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一、高斯点定义:高斯公式机械求积公式含有2n+2个待定参数若适当选择这些参数使求积公式含有2n+1次代数精度,则这类公式称为高斯公式。(4.1)第2页
???请回答:以前学过梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？答：除中矩形公式外都不是！第3页
定义:高斯点高斯公式求积节点称为高斯点第4页
举例求[a,b]上一点和二点高斯公式。解设一点高斯公式为则其代数精度应为即解得中矩形公式第5页
再设两点高斯公式为则其代数精度应为即这是关于四个未知数非线性方程,难于求解第6页
高斯点含有以下性质:定理对于插值型求积公式(4.1),其节点是高斯点充要条件是以这些点为零点多项式与任意次数不超出n多项式P(x)均正交,即启发：怎样求高斯公式！第7页
证实先证必要性,即是高斯点设P(x)是任意次数不超出n多项式,则P(x)ω(x)次数不超出2n+1,所以应准确成立但故第8页
再证充分性。即是高斯点对于任意给定次数不超出2n+1多项式f(x),用除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，即2n+1n+1nn由已知条件,ω(x)与P(x)正交,得第9页
因为所给求积公式(4.1)是插值型，它最少具有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立:再注意到ω(xk)=0,知Q(xk)=f(xk),从而有于是由前面推导知这说明公式对一切次数不超出2n+1多项式均能准确成立,故xk是高斯点。第10页
定理给我们启发:1.求出[a,b]上与全部次数不超出n多项式都正交多项式ωn+1(x)。2.求出ωn+1(x)n+1个零点就是高斯点。???请回答:[-1，1]上与全部次数不超出0多项式都正交多项式ω1(x)=？第11页
解:设P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。因为即展开,得则一个点高斯公式为中矩形公式第12页
二、高斯—勒让得公式尤其地，取[a,b]=[-1,1]，其上高斯公式为:下面求对应高斯点。因为勒让得多项式是[-1,1]上正交多项式,所以勒让得多项式Pn+1(x)零点就是高斯点。第13页
特殊地若取P1(x)=x零点x0=0作节点结构求积公式令它对f(x)=1准确成立,即可定出A0=2.即一点高斯公式为中矩形公式第14页
令它对f(x)=1,x准确成立,即可定出A0,A1可得两点高斯—勒让得公式为再取零点作节点构造求积公式注:其它高阶公式详见书。第15页
???请回答:高斯—勒让得公式仅适合用于求积区间是[-1，1]，那么对于任意求积区间[a,b]如何求？解作变换能够化到区间[-1,1]上,这时第16页
三、带权高斯公式定义:带权高斯公式求积公式若该公式含有2n+1次代数精度,则称这类公式为带权高斯公式.上述ρ(x)≥0是权函数。高斯点第17页
定理是高斯点充要条件是是区间[a,b]上关于ρ(x)正交多项式。特殊若[a,b]=[-1,1],权函数是所建立高斯公式为切比雪夫—高斯公式xk是切比雪夫多项式零点第18页
注意:利用正交多项式零点结构高斯求积公式,这种方法只是针对一些特殊权函数才有效。结构高斯公式普通方法是待定系数法第19页
举例要结构以下形式高斯公式解则其代数精度应为即第20页
作业:习题10，11第21页
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